一道线性代数习题
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/04 02:14:33
一道线性代数习题一道线性代数习题一道线性代数习题我用另一个方法证明.由已知可得(β1,β2,...,βr)=(α1,α2,...,αr)A(*)其中A是r行r列的方阵,且A=011...1101...
一道线性代数习题
一道线性代数习题
一道线性代数习题
我用另一个方法证明.
由已知可得
(β1,β2,...,βr) =(α1,α2,...,αr)A (*)
其中A是r行r列的方阵, 且A=
0 1 1 ... 1
1 0 1 ... 1
1 1 0 ... 1
... ...
1 1 1 ... 0
用分块矩阵的乘法可验证(*)式.
(*)式其实表明了: 向量组S2可由S1线性表示
容易计算 |A| = (r-1)(-1)^(r-2)
由 r > 1 所以 |A| ≠0 , A可逆.
故(*)式可写成 (β1,β2,...,βr)A^(-1) =(α1,α2,...,αr).
此式表示 向量组S1可由S2线性表示.
所以向量组S1与S2等价.
所以 r(S1) = r(S2).
注: 此证明方法具有普遍性. 特别是需要求出 S1表示S2的具体表达式时特别有效,
这个具体表达式是通过计算A的逆计算出来的, 而不是观察看出来的!
由已知可得
(β1,β2,...,βr) =(α1,α2,...,αr)A (*)
其中A是r行r列的方阵, 且A=
0 1 1 ... 1
1 0 1 ... 1
1 1 0 ... 1
... ...
1 1 1 ... 0
用分块矩阵的乘法可验证(*)式.