已知正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共点A,点G,E分别在线段AD,AB上.（1）如图第一个,连结DF,BF,若将正方形AEFG饶点A顺时针方向旋转,判断命题：“在旋转过程中线段DF与BF的长始终相等.”是否正
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 22:28:29
已知正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共点A,点G,E分别在线段AD,AB上.（1）如图第一个,连结DF,BF,若将正方形AEFG饶点A顺时针方向旋转,判断命题：“在旋转过程中线段DF与BF的长始终相等.”是否正
已知正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共点A,点G,E分别在线段AD,AB上.
（1）如图第一个,连结DF,BF,若将正方形AEFG饶点A顺时针方向旋转,判断命题：“在旋转过程中线段DF与BF的长始终相等.”是否正确,若正确请说明理由,若不正确请举反例说明
（2）若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转,连结DG,在旋转的过程中,你能否找到一条线段的长与线段DG的长始终相等,并以第二幅图为例说明理由
已知正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共点A,点G,E分别在线段AD,AB上.（1）如图第一个,连结DF,BF,若将正方形AEFG饶点A顺时针方向旋转,判断命题：“在旋转过程中线段DF与BF的长始终相等.”是否正
解法一：如图（1）,不正确．
若将正方形AEFG绕点A顺时针旋转45°,
这时点F落在边AB上（如图2所示,把D和G连改画成D和F连就行）,
根据“垂线段最短”的性质可知DF＞AD,
而AD＝AB,
BF是AB的一部分,
因此有DF＞BF,
即此时线段DF与BF的长不相等.
解法二：“将正方形AEFG绕点A顺时针方向旋转45度,这时点F在线段AB上”,如果此句成立,可以推出AF+BF=AB,若AF>AB时（完全可能的）,AF+BF>AB,所以证明不准确.
反证法：
若AGFE顺时针转动后,DF=FB,则△ADF≌△ABF（AD=AB已知,AF为公共边,三边相等的三角形为全等三角形）
由于△ADF≌△ABF
所以∠DAF=∠BAF,
由于AGFE顺时针转动后∠DAF=∠DAC+∠CAF,∠BAF=∠BAC-∠CAF
很容易证明∠DAC=∠BAC=45
所以当∠CAF≠0时（即发生转动）,∠DAF≠∠BAF,所以△ADF与△ABF不全等,所以BF≠DF（2边相等的不全等三角形,第三边一定不相等）.
（2）连结BE,BE＝DG．理由如下：
因为四边形ABCD,
AEFG是正方形,
所以AD＝AB,
AG＝AE,
又∠DAG＋∠GAB＝90°,
∠GAB＋∠BAE＝90°,
所以∠DAG＝∠BAE,
因此△ABE可以看作是由△ADG绕点A顺时针旋转而得,
故BE＝DG．
也可用全等三角形证明
如下：
连结BE,则线段BE=DG,
理由是DA=AB,
∠DAG=∠BAE,
AG=AE,
△DAG≌△BAE（SAS）
所以DG=BE