高一数学题 关于数列 数列{an} Sn=1/2(an+1/an)各项为正,求an

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/26 02:41:09
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高一数学题 关于数列 数列{an} Sn=1/2(an+1/an)各项为正,求an
Sn=1/2(an+1/an),an>0
令x=1得:S1=1/2(a1+1/a1) 解得a1=1
注意到an=Sn-S(n-1),上式可化为:
Sn=1/2(Sn-S(n-1) +1/( Sn-S(n-1)))
即:2Sn=Sn-S(n-1) +1/( Sn-S(n-1))
Sn+S(n-1) =1/( Sn-S(n-1))
Sn²-S(n-1)²=1
数列{ Sn²}是以1为首项,公差为1的等差数列.
∴Sn²=1+(n-1)×1=n, Sn=√n
从而n=1时 an=1
n≥2时 an=√n-√(n-1).
∴n∈N*时, an=√n-√(n-1).

同意

a1=1,a2=√2-1,a3=√3-√2
所以猜测an=√n-√(n-1)
sn=√n
可以用数学归纳法证明
这也是求数列通项的一种方法
当然如果用其他方法求出来更好...

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