与“平行线分线段成比例”有关的初中数学题已知：△ABC中,AM是边BC中线,O为AM上任意一点,BO的延长线交AC于点D,CO的延长线交AB于点E,求证：ED∥BC
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/20 02:32:54
与“平行线分线段成比例”有关的初中数学题已知：△ABC中,AM是边BC中线,O为AM上任意一点,BO的延长线交AC于点D,CO的延长线交AB于点E,求证：ED∥BC
与“平行线分线段成比例”有关的初中数学题
已知：△ABC中,AM是边BC中线,O为AM上任意一点,BO的延长线交AC于点D,CO的延长线交AB于点E,求证：ED∥BC
与“平行线分线段成比例”有关的初中数学题已知：△ABC中,AM是边BC中线,O为AM上任意一点,BO的延长线交AC于点D,CO的延长线交AB于点E,求证：ED∥BC
证明：以A为坐标原点,AC为x轴正半轴做直角坐标系,设A(0,0),C(x,0),B(m,n),O(p,q),则M((m+x)/2,n/2),利用A、O、M三点共线,有qn-pm-px=0,即q=(pm+px)/n.设D（r,0),利用B、O、D三点共线,有[(pm+px)/x)/(p-r)]=n(m-r) 解得r=(m^2+mx-n^2)/(m+x-n),即D((m^2+mx-n^2)/(m+x-n),0),同理可解出E点坐标,求出DE和BC斜率相等即可.
图有吗?....................
这是塞瓦定理的一个特殊情况，我们将原题目强化一下，AM不是中线，即M是BC上的任意一点，其他条件都不变，我们可以证明（AE/EB）*（BM/MC）*（CD/DA）=1。
因为AE/EB=三角形ACE的面积/三角形BCE的面积=三角形AOE的面积/三角形BOE的面积
易知AE/EB=（三角形ACE的面积-三角形AOE的面积）/（三角形BCE的面积-三角形BOE的面积)=三角形AOC的...
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这是塞瓦定理的一个特殊情况，我们将原题目强化一下，AM不是中线，即M是BC上的任意一点，其他条件都不变，我们可以证明（AE/EB）*（BM/MC）*（CD/DA）=1。
因为AE/EB=三角形ACE的面积/三角形BCE的面积=三角形AOE的面积/三角形BOE的面积
易知AE/EB=（三角形ACE的面积-三角形AOE的面积）/（三角形BCE的面积-三角形BOE的面积)=三角形AOC的面积/三角形BOC的面积。
同理BM/MC=三角形ABO的面积/三角形ACO的面积，CD/CA=三角形BOC的面积/三角形BAO的面积。所以
（AE/EB）*（BM/MC）*（CD/DA）=1.
在把原来的已知的AM是中线可知BM=MC，代入上式可得AE/EB=DA/CD。即可得ED平行于BC。（即平行线分线段成比例的反命题）。
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没有图啊亲