如图,在四棱锥P-ABCD中,AB平行于CD,AB垂直于AD,CD=2AB,AB=AD=AP=1,PB=PD=根号2E和F分别是CD和PC 的中点 （1）求证：PA垂直于地面ABCD,（2）求证：平面FBE平行于平面PAD （3）求三棱锥F-BCE的体积
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/23 12:48:13
如图,在四棱锥P-ABCD中,AB平行于CD,AB垂直于AD,CD=2AB,AB=AD=AP=1,PB=PD=根号2E和F分别是CD和PC 的中点 （1）求证：PA垂直于地面ABCD,（2）求证：平面FBE平行于平面PAD （3）求三棱锥F-BCE的体积
如图,在四棱锥P-ABCD中,AB平行于CD,AB垂直于AD,CD=2AB,AB=AD=AP=1,PB=PD=根号2
E和F分别是CD和PC 的中点 （1）求证：PA垂直于地面ABCD,（2）求证：平面FBE平行于平面PAD （3）求三棱锥F-BCE的体积
如图,在四棱锥P-ABCD中,AB平行于CD,AB垂直于AD,CD=2AB,AB=AD=AP=1,PB=PD=根号2E和F分别是CD和PC 的中点 （1）求证：PA垂直于地面ABCD,（2）求证：平面FBE平行于平面PAD （3）求三棱锥F-BCE的体积
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（Ⅰ）证明：∵AB=AD=AP=1,PB＝PD＝
2
,
∴PA2+AD2=PD2,∴PA2+AD2=PD2,
∴∠PAD=90°,∴PA⊥AD,
同理可得：PA⊥AB,AB∩AD=A
∴PA⊥底面ABCD．
（Ⅱ）证明：∵AB∥CD,CD=2AB,E是CD的中点,
∴ABED为平行四边形,
∴BE∥AD,
又∵BE⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,
∴BE∥平面PAD．
由于EF是△PCD的中位线,∴EF∥DP,
同理得∴EF∥平面PAD,
又EF∩BE=E,
∴平面FBE∥平面PAD．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知PA⊥底面ABCD,
由已知AP=1,F是PC的中点,得F到底面ABCD的距离为
1
2
PA＝
1
2
,
由已知AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,AB=AD=1,
S△BCE=
1
2
×1×1＝
1
2
,
∴三棱锥F-BCE的体积V=
1
3
×
1
2
×
1
2
＝
1
12
．