如图,已知正方形ABCD,G为对角线CA延长线上一点,GF⊥GD. (1)求证:GF=GD; (2)延长FG交BA的延长线于E点,EM平分∠BEF, 交GD于H点,BF于M点.求证:AE-CM=2GH.
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2025/01/22 15:55:22
如图,已知正方形ABCD,G为对角线CA延长线上一点,GF⊥GD. (1)求证:GF=GD; (2)延长FG交BA的延长线于E点,EM平分∠BEF, 交GD于H点,BF于M点.求证:AE-CM=2GH.
如图,已知正方形ABCD,G为对角线CA延长线上一点,GF⊥GD.
(1)求证:GF=GD;
(2)延长FG交BA的延长线于E点,EM平分∠BEF, 交GD于H点,BF于M点.求证:AE-CM=2GH.
如图,已知正方形ABCD,G为对角线CA延长线上一点,GF⊥GD. (1)求证:GF=GD; (2)延长FG交BA的延长线于E点,EM平分∠BEF, 交GD于H点,BF于M点.求证:AE-CM=2GH.
我的方法不需要用四点共圆
(1)证明:连接BG
∵BC=CD,∠GCB=∠GCD=45°,GC公共
∴△GCB≌△GCD
∴∠GDC=∠GBC ∴∠GBF+∠GDC=180°
在四边形GDCF中,∠DGF=∠DCF=90°
∴∠GDC+∠GFC=180° ∴∠GBF=∠GFC
∴BG=FG 又BG=DG
∴GF=GD
(2)连接DE、DF,取EM中点N,连接GN
∵∠GBF=∠GFC∴90°-∠GBF=90°-∠GFC
即∠GEB=∠GBE∴GE=GB
∴GE=GD=GF又EF⊥DG∴DE=DF
在Rt△ADE和Rt△CDF中
DE=DF,AD=CD
∴△ADE≌△CDF∴AE=CF
∵G为EF中点,N为EM中点
∴GN∥FM,FM=2GN
∵∠GEH=∠BEH
∴90°-∠GEH=90°-∠BEH,即∠GHE=∠EMB
∵GN∥FM,∴∠EMB=∠GNH,∴∠GHE=∠GNH
∴GN=GH,∴FM=2GH
∴AE-CM=CF-CM-FM=2GH