lim{[a1^(1/x)+(a2^(1/x)+……(an)^(1/x)]/n}^x,x趋向于0,求极限
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/16 18:04:58
lim{[a1^(1/x)+(a2^(1/x)+……(an)^(1/x)]/n}^x,x趋向于0,求极限
lim{[a1^(1/x)+(a2^(1/x)+……(an)^(1/x)]/n}^x,x趋向于0,求极限
lim{[a1^(1/x)+(a2^(1/x)+……(an)^(1/x)]/n}^x,x趋向于0,求极限
an是多少?
当x→0+时，lim{[a1^(1/x)+(a2^(1/x)+……(an)^(1/x)]/n}^x=max{a1，a2，……，an}；
当x→0-时，lim{[a1^(1/x)+(a2^(1/x)+……(an)^(1/x)]/n}^x=min{a1，a2，……，an}；
先求 lim(x->0) [ (a^x + b^x + c^x)/3 ] ^(1/x)
令 f(x) = [ (a^x + b^x + c^x)/3 ] ^(1/x), ln f(x) = (1/x) ln[ (a^x + b^x + c^x)/3 ]
当x->0时, (a^x + b^x + c^x)/3 -> 1,
ln[ (a...
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先求 lim(x->0) [ (a^x + b^x + c^x)/3 ] ^(1/x)
令 f(x) = [ (a^x + b^x + c^x)/3 ] ^(1/x), ln f(x) = (1/x) ln[ (a^x + b^x + c^x)/3 ]
当x->0时, (a^x + b^x + c^x)/3 -> 1,
ln[ (a^x + b^x + c^x)/3 ] ~ (a^x + b^x + c^x)/3 - 1
lim(x->0) (1/x) ln[ (a^x + b^x + c^x)/3 ]
= lim(x->0) [(a^x + b^x + c^x) /3 -1] / x
= (1/3) lim(x->0) [ (a^x - 1)/x + (b^x-1)/x + (c^x-1)/x]
= (1/3) (lna + lnb + lnc) = ln (abc)^(1/3)
于是 lim(x->0) [ (a^x + b^x + c^x)/3 ] ^(1/x) = (abc)^(1/3)
原式 = (a1 * a2 ...... * an) ^ (1/n)
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