B的平方-4AC若ABC都是奇数,则该式必不是完全平方数,理由
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/28 07:34:38
B的平方-4AC若ABC都是奇数,则该式必不是完全平方数,理由
B的平方-4AC若ABC都是奇数,则该式必不是完全平方数,理由
B的平方-4AC若ABC都是奇数,则该式必不是完全平方数,理由
先证明一个结论：奇数的平方被8除余数是1.
证明：设x是奇数,则存在整数y使得 x=2y+1. 因此 x^2=(2y+1)^2=4y^2+4y+1=4y(y+1)+1. 因为y与y+1为连续整数,它们的乘积必能被2整除,所以 4y(y+1) 能被8整除,从而 x^2 被8除余数是1.
回到原题.如果 b^2-4ac=k^2 是完全平方数,这里k是奇数,则 b^2-k^2=4ac. 现在等式左边由于b,k均为奇数,b^2,k^2被8除余数都是1,所以 b^2-k^2 能被8整除.但在等式右边,由于a,c均为奇数,不能被2整除,所以4ac只能被4整除而不能被8整除,因此等式两边不可能相等.
所以,a,b,c均为奇数时,b^2-4ac不是完全平方数.
设B^2 - 4AC = T^2，则 （B-T)（B+T）=4AC
∵B-K和B+K同奇或同偶，且4AC是偶数
∴B-K和B+K必同偶
∵B是奇数
∴K是奇数
设B-T = 2W，则B+T=2W+2T
∴2W×(2W+2T)=4W(W+T)=4AC
∴W(W+T)=AC
∵T是奇数
∴W和（W+T）的奇偶性相反
∴W(...
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设B^2 - 4AC = T^2，则 （B-T)（B+T）=4AC
∵B-K和B+K同奇或同偶，且4AC是偶数
∴B-K和B+K必同偶
∵B是奇数
∴K是奇数
设B-T = 2W，则B+T=2W+2T
∴2W×(2W+2T)=4W(W+T)=4AC
∴W(W+T)=AC
∵T是奇数
∴W和（W+T）的奇偶性相反
∴W(W+T)必为偶数；
∵A和C均为奇数
∴AC必为奇数
矛盾
∴假设B^2 - 4AC = T^2 错误
∴b^2-4ac不是完全平方数
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假设B^2 - 4AC = K^2，则 （B-K)（B+K）=4AC
由于B-K和B+K必是同奇或者同偶，而4AC是偶数，则B-K和B+K必定同偶
同时，由于B是奇数，所以K肯定是奇数（*）
可以假设B-K = 2P，则B+K=2P+2K
所以2P*(2P+2K)=4P(P+K)=4AC，因此P(P+K)=AC
利用（*），K是奇数，所以P和（P+K）的奇偶...
全部展开
假设B^2 - 4AC = K^2，则 （B-K)（B+K）=4AC
由于B-K和B+K必是同奇或者同偶，而4AC是偶数，则B-K和B+K必定同偶
同时，由于B是奇数，所以K肯定是奇数（*）
可以假设B-K = 2P，则B+K=2P+2K
所以2P*(2P+2K)=4P(P+K)=4AC，因此P(P+K)=AC
利用（*），K是奇数，所以P和（P+K）的奇偶性相反，所以P(P+K)肯定是偶数；
而由于A和C都是奇数，AC肯定是奇数；
出现明显矛盾，因此假设B^2 - 4AC = K^2 是错误的，所以该式必不是完全平方数
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