初二关于正方形的数学题如图,正方形ABCD中,∠PAB=∠PBA=15°,连接PD、PC,求证：△PDC是个等边三角形.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/28 20:50:51
初二关于正方形的数学题如图,正方形ABCD中,∠PAB=∠PBA=15°,连接PD、PC,求证：△PDC是个等边三角形.
初二关于正方形的数学题
如图,正方形ABCD中,∠PAB=∠PBA=15°,连接PD、PC,求证：△PDC是个等边三角形.
初二关于正方形的数学题如图,正方形ABCD中,∠PAB=∠PBA=15°,连接PD、PC,求证：△PDC是个等边三角形.
证法很多,大多是反证法,上网搜一下就有很多,我就不多说了,在这里我提供一种直接证法：
如下图（我画的图与你的相反,不过是一样的）
将△PAB沿正方形对角线DB对折得对称△PCB,则：
P'B=PB,
∠P'BP=90°-30°=60°
于是△P'BP为等边三角形,
又∠BP'C=180°-30°=150°
∴∠PP'C=360°-60°-150°=150°
∴∠PP'C=∠BP'C
∴△PP'C≌△BP'C
∴PC=BC=CD
同理,PD=CD
∴△PCD是等边三角形
因为∠PAB=∠PBA=15°
所以∠APB=180°－15°×2=150°
所以∠3+∠4+∠DPC=210°①
又∠1=90°－15°=∠2，AD=BC，AP=BP
所以△APD≌△BPC
所以PD=PC ∠5=∠6
故欲证PD=PC=CD，只须证PD=CD.
假设PD≠CD，那么P...
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因为∠PAB=∠PBA=15°
所以∠APB=180°－15°×2=150°
所以∠3+∠4+∠DPC=210°①
又∠1=90°－15°=∠2，AD=BC，AP=BP
所以△APD≌△BPC
所以PD=PC ∠5=∠6
故欲证PD=PC=CD，只须证PD=CD.
假设PD≠CD，那么PD>CD或PD
所以∠3+∠4<150°②
所以由①、②得∠DPC>60°
所以∠5+∠6+∠DPC>180°，与三角形内角和定理相矛盾.
当PD
所以PD=PC=CD.即△PCD是等边三角形.
角DAP=角1 角CBP=∠2 ∠DPA=∠3 ∠CPB=∠4 ∠PDC=∠5
∠PCD=∠6
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一楼“所以三角形ADP相似于三角形BCP，AD等于PD等于PC” 有误
△ADP≌△BCP 推出 AD=BC DP=CP
因为角PAB 等于角PBA
所以三角形ABP是等腰三角形所以PA等于PB
应为ABCD是正方形，所以AD等于BC
角DAB等于角CBA等于九十度
因为角PAB等于角PBA所以角DAP等于角CBP等于75度
在三角形ADP和三角形BCP中
AP等于BP
AD等于BC
角DAP等于角CBP
所以三角形ADP相似于三角形BCP，AD...
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因为角PAB 等于角PBA
所以三角形ABP是等腰三角形所以PA等于PB
应为ABCD是正方形，所以AD等于BC
角DAB等于角CBA等于九十度
因为角PAB等于角PBA所以角DAP等于角CBP等于75度
在三角形ADP和三角形BCP中
AP等于BP
AD等于BC
角DAP等于角CBP
所以三角形ADP相似于三角形BCP，AD等于PD等于PC
所以PD等于PC等于DC
所以三角形PDC是等边三角形
（大概就是这样）或者可以证角DPC六十度
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根据题意，设正方形的变长为a，∠PDA=∠2,∠APD=∠3.
在三角形APB中，应用正弦定理可得到：
a/sin150=AP/sin15，
得到：
AP=2asin15.......（1）
在三角形APD中，应用正弦定理得到：
AP/sin∠2=a/sin∠3.
(1)代入上式，得到：
2asin15/sin∠2=a/sin∠3.<...
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根据题意，设正方形的变长为a，∠PDA=∠2,∠APD=∠3.
在三角形APB中，应用正弦定理可得到：
a/sin150=AP/sin15，
得到：
AP=2asin15.......（1）
在三角形APD中，应用正弦定理得到：
AP/sin∠2=a/sin∠3.
(1)代入上式，得到：
2asin15/sin∠2=a/sin∠3.
上式化简可得到：
2sin∠3sin15=sin∠2.
又因为∠2+∠3=115.
所以：
2sin∠3sin15=sin(115-∠3)
2sin∠3sin15=sin115cos∠3-cos115sin∠3
2sin∠3sin15=sin75cos∠3+sin15sin∠3
sin∠3sin15=cos∠3sin75
tan∠3=tan75
所以：
∠3=75.
所以三角形APD为等腰三角形，DP=AD=a，
所以有PC=DP=DC=a，故为等边三角形。
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