已知函数f(x)=lg(1-x)-lg(1+x),若a,b∈(-1,1),求证f(a)+f(b)=f[(a+b）/（1+ab）]
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/26 00:46:46
已知函数f(x)=lg(1-x)-lg(1+x),若a,b∈(-1,1),求证f(a)+f(b)=f[(a+b）/（1+ab）]
已知函数f(x)=lg(1-x)-lg(1+x),若a,b∈(-1,1),求证f(a)+f(b)=f[(a+b）/（1+ab）]
已知函数f(x)=lg(1-x)-lg(1+x),若a,b∈(-1,1),求证f(a)+f(b)=f[(a+b）/（1+ab）]
证明,因为f(x)=lg(1-x)-lg(1+x),
=lg[(1-x)/(1+x)]
所以,当a,b∈(-1,1)时,即1-a>0,1-b>0时.
f(a)+f(b)=[lg(1-a)-lg(1+a)]+[lg(1-b)-lg(1+b)]
=lg[(1-a)/(1+a)]+lg[(1-b)/(1+b)]
=lg[(1-a)/(1+a)]*[(1-b)/(1+b)]
=lg[(1-a)*(1-b)/(1+a)*(1+b)]
=lg(1-a-b+ab)/(1+a+b+ab)
f[(a+b)/(1+ab)]=lg[1-(a+b)/(1+ab)]-lg[1+(a+b)/(1+ab)]
=lg[(1-a-b+ab)/(1+ab)]-lg[(1+a+b+ab)/(1+ab)]
=lg(1-a-b+ab)/(1+a+b+ab)
所以f(a)+f(b)=f[(a+b）/（1+ab）]
显然,(a-1)(b-1)>0,(a+1)(b+1)>0,所以-1<(a+b）/（1+ab）<1.
f[(a+b）/（1+ab）] =lg[1-(a+b)/(1+ab)]-lg[1+(a+b)/(1+ab)]
=lg[(ab+1-a-b)/(a+b)]-lg[(ab+1+a+b)/(a+b)]=
+lg(ab+1-a-b)-lg(ab+1+a+b)=lg(a-1)(b-1)-lg(a+1)(b+1)=
lg(a-1)-lg(a+1)+lg(b-1)-lg(b+1)=f(a)+f(b)