在数列中a1=1,3anan-1+an-an-1=0(n≥2,n∈N)若入an+1/an+1≥入对任意n≥2的整数恒成立,求入的取值范围
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/31 19:14:21
在数列中a1=1,3anan-1+an-an-1=0(n≥2,n∈N)若入an+1/an+1≥入对任意n≥2的整数恒成立,求入的取值范围
在数列中a1=1,3anan-1+an-an-1=0(n≥2,n∈N)若入an+1/an+1≥入对任意n≥2的整数恒成立,求入的取值范围
在数列中a1=1,3anan-1+an-an-1=0(n≥2,n∈N)若入an+1/an+1≥入对任意n≥2的整数恒成立,求入的取值范围
3anan-1+an-an-1=0两边同除ana(n-1)得：3+1/a(n-1)-1/an=0 1/an-1/a(n-1)=3 1/a1=1
所以,{1/an}是以1为首项、以3为公差的等差数列,1/an=3n-2 an=1/(3n-2)(n=1,2,…)
an+1/a(n+1)=1/(3n-2)+3n+1=(9n^2-3n-1)/(3n-2)=[(3n-2)^2+3(3n-2)+1]/(3n-2)=(3n-2)+1/(3n-2)+3
(3n-2)+1/(3n-2)>=2,当(3n-2)=1/(3n-2)即n=1时取等号.当n>=2时,an+1/a(n+1)递增.
所以,当n=2时,an+1/a(n+1)取最小值29/4
所以,入
解（1）将3anan-1+an-an-1=0（n≥2）整理得： 1/an-1/an-1=3(n≥2)
所以 1/an=1+3(n-1)=3n-2，即 an=1/3n-2n=1时，上式也成立，所以， an=1/3n-2
（2）若 λan+1an+1≥λ恒成立，即 λ/3n-2+3n+1≥λ恒成立
整理得： λ≤(3n+1)(3n-2)/3(n-1)
令 ...
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解（1）将3anan-1+an-an-1=0（n≥2）整理得： 1/an-1/an-1=3(n≥2)
所以 1/an=1+3(n-1)=3n-2，即 an=1/3n-2n=1时，上式也成立，所以， an=1/3n-2
（2）若 λan+1an+1≥λ恒成立，即 λ/3n-2+3n+1≥λ恒成立
整理得： λ≤(3n+1)(3n-2)/3(n-1)
令 cn=(3n+1)(3n-2)/3(n-1) cn+1-cn=(3n+4)(3n+1)/3n-(3n+1)(3n-2)/3(n-1)=(3n+1)(3n-4)/3n(n-1)
因为n≥2，所以上式＞0，即{cn}为单调递增数列，所以c2最小， c2=28/3，
所以λ的取值范围为 (-∞，28/3]
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