数学截长补短专题正方形ABCD中,点E在BC边上移动,角EAF=45度,AF交CD于F,连接EF.求证：BE+DF=EF
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/20 07:14:53
数学截长补短专题正方形ABCD中,点E在BC边上移动,角EAF=45度,AF交CD于F,连接EF.求证：BE+DF=EF
数学截长补短专题
正方形ABCD中,点E在BC边上移动,角EAF=45度,AF交CD于F,连接EF.求证：BE+DF=EF
数学截长补短专题正方形ABCD中,点E在BC边上移动,角EAF=45度,AF交CD于F,连接EF.求证：BE+DF=EF
证明：延长CB到G,使得BG=DF.
在正方形ABCD中
1,证明：RT⊿ADF≌RT⊿ABG,DF=BG
∵∠D=∠ABC=90°（正方形的内角等于90度）,∠ABC+∠ABG=180°（平角为180度）
∴∠D=∠ABG=90°（等量公理）
∵AD=AB（正方形的边长相等）,DF=BG（所做）
∴RT⊿ADF≌RT⊿ABG（两角夹边相等,两三角形全等）
∴AF=AG,∠DAF=∠BAG（全等三角形的对应边,对应角相等）
2,证明：∠EAF=∠EAG=45°
∵AD=AC（正方形的边长相等）
∴∠DAC=∠DAF+∠FAC=90°/2=45°（直角三角形的锐角和为90度,三角形的等边对等角）
∵∠EAF=∠EAC+∠FAC=45°（已知）
∴∠DAF=∠EAC=∠BAG（等量公理）
同理可证：∠BAC=∠BAE+∠EAC=45°
∴∠EAG=∠BAE+∠BAG=45°（等量公理）
∴∠EAF=∠EAG=45°
3,证明：⊿EAF≌⊿EAG,EF=BE+BG=BE+DF
∵AE是公用边
∴⊿EAF≌⊿EAG（两边夹角相等,两三角形全等）
∴EF=EG=BE+BG=BE+DF（全等三角形对应边相等）
1）过点A在正方形的外部作角BAM=角DAF，交CB的延长线于点M，易证三角形ADF全等于三角形ABM，则DF=MB，再根据“边角边”易证三角形AEF全等于三角形AEM，所以EF=BE+BM=DF+BE