线代非齐次方程解的结构与性质?设A是秩为3的5*4矩阵.a1,a2,a3是非齐次线性方程组Ax=b的三个不同的解,若a1+a2+2a3=(2,0,0,0,)^T,3a1+a2=(2,4,6,8)^T,则方程组Ax=b的通解是?三个不同的解的加法线性组合是否
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/16 18:51:47
线代非齐次方程解的结构与性质?设A是秩为3的5*4矩阵.a1,a2,a3是非齐次线性方程组Ax=b的三个不同的解,若a1+a2+2a3=(2,0,0,0,)^T,3a1+a2=(2,4,6,8)^T,则方程组Ax=b的通解是?三个不同的解的加法线性组合是否
线代非齐次方程解的结构与性质?
设A是秩为3的5*4矩阵.a1,a2,a3是非齐次线性方程组Ax=b的三个不同的解,若a1+a2+2a3=(2,0,0,0,)^T,3a1+a2=(2,4,6,8)^T,则方程组Ax=b的通解是?三个不同的解的加法线性组合是否仍是非齐次方程组的解,即a1+a2+2a3是否仍是Ax=b的解?假设问题1是正确的,我自己已经求出了对应的通解,是否直接通解加上a1+a2+2a3就是非齐次的通解?麻烦老师了
线代非齐次方程解的结构与性质?设A是秩为3的5*4矩阵.a1,a2,a3是非齐次线性方程组Ax=b的三个不同的解,若a1+a2+2a3=(2,0,0,0,)^T,3a1+a2=(2,4,6,8)^T,则方程组Ax=b的通解是?三个不同的解的加法线性组合是否
非齐次线性方程组解的结构是由齐次通解加上特解组成的.
问题1：三个不同的解的线性组合是否仍是非齐次方程组的解,即a1+a2+2a3是否仍是Ax=b的解?
答：若a1,a2,a3是非齐次线性方程组Ax=b的三个不同的解,那么一般来讲,三个不同的解的线性组合不再是原非齐次方程组Ax=b的解（a1+a2+2a3不再是非齐次方程组Ax=b的解）,除非a1,a2,a3前面的三个系数之和为1时,a1,a2,a3的线性组合才是原非齐次方程组Ax=b的解,即当l+m+n=1时,la1+ma2+na3才是原非齐次方程组Ax=b的解.
证明：∵a1,a2,a3是非齐次线性方程组Ax=b的三个不同的解
∴Aa1=b,Aa2=b,Aa3=b
∴A(la1+ma2+na3)
=lAa1+mAa2+nAa3
=lb+mb+nb
=(l+m+n)b (当l+m+n=1时)
=b
∴la1+ma2+na3是原非齐次方程组Ax=b的解.
问题2：假设问题1是正确的,我自己已经求出了对应的通解,是否直接通解加上a1+a2+2a3就是非齐次的通解?
答：根据非齐次线性方程组解的结构定理可知,这种理解是正确的,但问题是在本题中,a1+a2+2a3不是原非齐次方程组Ax=b的解,所以还需另寻特解.
本题正确解法如下：
步骤一：判断齐次方程Ax=0的基础解系的个数
∵A是秩为3的5*4矩阵
∴齐次方程Ax=0的基础解系的个数是4-3=1
步骤二：求齐次方程Ax=0的通解
∵a1,a2,a3是非齐次线性方程组Ax=b的三个不同的解,
a1+a2+2a3=(2,0,0,0)^T,3a1+a2=(2,4,6,8)^T,
∴(3a1+a2)-(a1+a2+2a3)=(2a1-2a3)=(0,4,6,8)^T是齐次线性方程组Ax=0的基础解系
∴齐次方程Ax=0的通解是：C(0,4,6,8)^T (C为任意常数)
步骤三：求非齐次方程Ax=b的特解
根据以上分析可知：a1+a2+2a3不是非齐次方程组Ax=b的解,
但(a1+a2+2a3)/4=a1/4+a2/4+a3/2=(1/2,0,0,0)^T是非齐次方程组Ax=b的解
∴根据非齐次线性方程组解的结构定理,非齐次方程Ax=b的最终通解是：
C(0,4,6,8)^T + (1/2,0,0,0)^T (C为任意常数)