求证：函数f（x)=根号1＋x平方－x在R上是单调减函数
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/22 05:24:22
求证：函数f（x)=根号1＋x平方－x在R上是单调减函数
求证：函数f（x)=根号1＋x平方－x在R上是单调减函数
求证：函数f（x)=根号1＋x平方－x在R上是单调减函数
1、导数法.
f'(x)=x/√(1+x^2) -1=[x-√(1+x^2)]/√(1+x^2).
分子总是
求导吧
f(x)=√(1+x²)-x
设x1、x2∈R，且x1
=[√(1+x1²)-√(1+x2²)]-(x1-x2)
=(x1²-x2²)/[√(1+x1²...
全部展开
f(x)=√(1+x²)-x
设x1、x2∈R，且x1
=[√(1+x1²)-√(1+x2²)]-(x1-x2)
=(x1²-x2²)/[√(1+x1²)+√(1+x2²)]-(x1-x2)
=[(x1+x2)(x1-x2)]/[√(1+x1²)+√(1+x2²)]-(x1-x2)
=(x1-x2){(x1+x2)/[√(1+x1²)+√(1+x2²)]-1}
=(x1-x2)/[√(1+x1²)+√(1+x2²)]*[x1+x2-√(1+x1²)-√(1+x2²)]
=(x1-x2)/[√(1+x1²)+√(1+x2²)]*{-1/[x1+√(1+x1²)]-1/[x2+√(1+x2²)]
=(x2-x1)/[√(1+x1²)+√(1+x2²)]*{1/[x1+√(1+x1²)]+1/[x2+√(1+x2²)]}
因为x1
所以f(x1)-f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)
而x1
收起
根号下1+x^2 +x在R上单调递增（对根号下1+x^2 +x求导即可证明）所以 函数f(x)=根号下1+x^2 -x在R上是单调减函数。