正方形ABCD,对角线BD上一点M,求点M在何处时,AM+BM+CM的值最小.网上答案有很多种、求解网上有的说M为BD中点时最短.有的说M在B点上时最短.还有一个就是在边上作等边三角形.然后一连.交点最短.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/20 23:40:59
正方形ABCD,对角线BD上一点M,求点M在何处时,AM+BM+CM的值最小.网上答案有很多种、求解网上有的说M为BD中点时最短.有的说M在B点上时最短.还有一个就是在边上作等边三角形.然后一连.交点最短.
正方形ABCD,对角线BD上一点M,求点M在何处时,AM+BM+CM的值最小.网上答案有很多种、求解
网上有的说M为BD中点时最短.有的说M在B点上时最短.还有一个就是在边上作等边三角形.然后一连.交点最短.有能力的最好写上微积分如何解此题
正方形ABCD,对角线BD上一点M,求点M在何处时,AM+BM+CM的值最小.网上答案有很多种、求解网上有的说M为BD中点时最短.有的说M在B点上时最短.还有一个就是在边上作等边三角形.然后一连.交点最短.
设M（x,x）不妨设边长为1
已知的是B(0,0) C(1,0)A(0,.1)
那么BM=根号2x
CM=AM=根号(1-x）^2+x^2
于是转化为一个函数问题.
f(x)=根号2x+2根号(1-x）^2+x^2
f'(x)=根号2+ (4x-2)/(根号2x^2-2x+1）
解得x=（3-根号3）/6时为极值小点
【现存网上解法剖析】
第一种是
B点最小,画图
设M在BD上且不与BD重合,此时,AMB CMB均为三角形,则
AM+BM>AB BM+CM>BC 所以AM+2BM+CM>AB+BC
设M与B点重合,此时,AM+2BM+CM=AM+CM
设M与D点重合,此时,AM+2BM+CM>AB+BC
由以上三个式之得出,M与B 重合是,AM+BM+CM最小
但是我表示看不懂.这里2BM怎么就变成了BM.实在无法理解
第二种,说是中点的时候.
但是网上流传的中点的题与本题是不同的.网上流传的是本题图的AM+BM+DM
也就是不是同一道题
第三种,在边上作等边三角形.然后一连.交点最短.嗯
三种最后的答案分别是2,3根号2/2 ,（1+根号3）/根号2
大约是,2
2.12
1.93
所以明显是第三种是最小的.因此也推翻了第一种这莫名其妙的证明方法
经过计算可得第三种取到条件即为x=3-根号3/6
因此此题最终的答案就是用等边三角形连结
或者用函数解决
解答完毕