如何开始你的数学生涯

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如何开始你的数学生涯
如何开始你的数学生涯（陶哲轩）

菲尔茨奖获得者,天才华裔数学家陶哲轩博客上的一篇文章,可以看看天才的建议.
关于职业咨询的要求
几乎每隔一段时间,我收到一个查询问题的咨询意见的数学事业,要求如
什么要在数学领域的一个研究?
什么数学文本应当一购买或阅读?
什么问题应该解决一个尝试?
应该怎样一种方法的数学问题?
应该如何一写数学论文?
大学应该是什么一个适用于?
应该追求什么样的战略之一,以增加自己的录取机会（例如,加州大学洛杉矶分校）?
更普遍, 究竟要如何“成功”的数学?
这些要求的意见,当然非常讨人喜欢.不幸的是,这些问题太笼统,而对一个人的具体情况,兴趣,选择依赖,并为我提供什么方面比一般的陈词滥调外（见下文）.由于这种情况,以及可用的时间不够,因为,我遗憾地未能切实回应任何这样的查询.我会建议,而不是与一个人的高中,本科或研究生导师,是谁更适合您的具体情况,将能够提供更多的有关咨询意见.特别是,我无法亲自建议任何人谁比加州大学洛杉矶分校毕业已经通过资格考试的学生等.
关于数学竞赛：我没有参加数学竞赛自1988年以来,和我不熟悉他们是如何工作的今天.有关如何解决数学问题的意见,你可以尝试我对这个问题的书.此外, 我应该说,虽然数学竞赛,当然有很多乐趣,他们是从数学学习和数学研究非常不同的活动; 不要指望你的问题,比如说,在研究生学习,有同样的剪切和干燥,整洁的味道,一个奥林匹克问题一样. （在解决方案中的各个步骤可能能够被结束了,与奥林匹克的人迅速的培训,解决方案的大部分可能 需要,而不是阅读的文学更加耐心和漫长的过程,运用已知的技术,试图模型问题或特殊情况下,为寻找反例,等等.）所以享受这些比赛,但不要忽略了更多的“沉闷”你的数学教育方面,因为这些最终将变成更为有用.
通用陈词滥调
正如我前面所说,我没有“秘方”或其他一个放之四海而皆准的所有处方药如何成功在数学研究和学术界. 有,但是,很一般（和相当明显）的忠告,我可以给：
还有更多比成绩和考试方法和数学. 作为一个大学生,有一年级平均沉重的重点,并在考试往往强调技术和概念的理解比实际的,或任何知识产权或直觉思维理论记忆背诵. 然而,正如你过渡到毕业学校,你会看到有一个更高层次的学习（更重要的是,这样做）数学, 这需要的不仅仅是记忆和学习能力,或复制现有的参数或您的知识产权学院工作的例子更多. 这往往需要抛弃,一个（或至少修改）许多大学生的学习习惯,有一种自我激励的研究与实验的需求大大增加,以促进自己的理解,而不是简单地关注诸如人工基准考试.此外,而在本科水平,主要是以下一教授高度发达和抛光的数学理论,其中大多数是制定了几十年甚至几个世纪前在研究生水平,你将开始看到的最尖端的,“活”的东西 - 这可能会明显不同的（更有趣）为您要用来作为一个本科生!
还有更多比严谨和数学证明.作为本科一,往往先教以非正式的,直观的方式描述例如斜坡和领域方面衍生物和积分（数学）,但稍晚则表示,要做事“正常”人需要在工作和思维方式更精确的和正式的方式（如使用epsilons和三角洲来形容衍生产品）.这当然是非常重要的,你想知道如何严格,因为这给你的纪律,以避免许多常见的错误和清除许多误解.不幸的是,有意想不到的后果是,“虽然不能确定”或“直觉”的思想（如启发式推理,从例子,或与其他方面,如物理类比明智的外推法）获得推荐为“非严格”.很多时候,一个最终抛弃自己的直觉和最初只能在一个正式的处理水平数学. 对不严格点,销毁所有的直觉,而是应该用来摧毁坏的直觉,而直觉澄清和提升良好. 它是唯一一个既严格形式主义和良好的直觉,一个可以解决复杂的数学问题相结合;一前需要正确处理的细节,后者要正确处理大图片. 如果没有一个或另一个,您将花费大量的时间,硬是在黑暗中左右（可以是启发性的,但非常缺乏效率）.所以一旦你完全符合严格的数学思维舒服,你应该重新审视这个问题上你的直觉和使用新的思维技巧,以测试和改进这些直觉,而不是抛弃他们.达到理想的状态是,当每一个启发式的论点自然建议其严格对应,反之亦然.
努力工作. 仅依靠情报来拉东西了,在最后一分钟可工作了一段时间,但一般来说在毕业水平或更高的事实并非如此. 人们需要做认真的阅读和写作量,不只是思想,以取得任何数学严重,违背民意,数学突破是完全不供电（甚至主要）以“尤里卡”天才的时刻,但实际上在很大程度上是一种产品的努力,当然导演的经验和直觉. （参见“天才的邪教”.） 该 魔鬼 往往在细节;如果你认为你了解一个数学一块,你应该可以回,由看过所有相关的文献和写下来,至少有一个怎样的数学一块去写生,然后最终写了一个完整的,详细的治疗专题.这将是非常愉快的,如果人们可以只是梦想了宏伟的想法,让一些“小凡人”填写的细节,但是,相信我,它不喜欢的工作,在所有数学;过去的经验已经表明,它是唯一值得付出自己的时间和精力在其中的细节和其他有关证明（或至少是“验证型概念大量”）已被仔细收集,以支持自己的“伟大构想”的论文.如果这个想法发端不愿意这样做,有机会,没人会做这样做.
喜欢你的工作.这是在某些方面是对以前的必然结果,如果你不喜欢你在做什么,就很难取得成功所需的投入在长期持续的能源量.最好是工作在一个你喜欢的数学领域,比一,你是在工作仅仅因为它是时尚的（见下文）.
不要名利基础上的魅力生涯的决定.到外地或部门走出仅仅因为它是迷人的,是不是一个好主意,也不是最有名的问题（或者数学家）领域内,仅仅因为他们是著名的 - 诚实地聚焦,没有那么多名利魅力在数学的整体,这是不值得追求作为您的主要目标这些东西.迷人的东西很可能是竞争激烈,只有那些最坚实的背景（特别是与该领域方面的经验较少迷人的地段）有可能取得任何进展.一位著名的尚未解决的问题是几乎从来没有得到解决从头无中生有.一个人必须先花很多时间就简单（更非著名）的模式问题,获取技术,直觉,部分结果,语境,文学,从而使这一问题的办法和卓有成效的工作毫无结果排除之前,有任何真正的机会解决该地区的任何真正的大问题. （有时,这些问题属于一个相对容易,只是因为人与工具,设置权组尚未有机会研究这个问题之前,但这通常不是很深入的研究问题的情况下 - 尤其是那些已经有大量的机构“不走”定理和反攻击的排除整个战略.出于同样的原因）,1千万不要搞数学的奖品或承认一个主要原因,它是一个更好的策略长期的公正产生良好的数学和你的领域作出贡献,而奖品和认可,最终将自己（和很好的血汗钱）照顾.
学习和重新学习你的领域.学习从来没有真正停止这项业务,即使在您所选择的专业,比如我仍然在学习之后写我的论文题目有关基本谐波分析十年奇怪的事情. 仅仅因为你知道了言,并基本引理X证明,你不应该利用这个引理是理所当然的 - 你能找到替代的证明?你知道为什么每次都是必要的假设?什么样的概括是已知/猜测/启发式?是否有弱,简单的版本,能满足某些应用程序?什么是一些模型的例子证明,在行动引理?当它是一个好主意,利用引理,当是不是?什么样的问题才能解决,什么样的问题是超出其能力来协助?在那里,在其他领域的数学引理类似物?引理是否适合更广泛的模式或程序? 这是特别有用的讲座在您的领域,或写讲稿或其他说明性材料,即使它只是为自己个人使用.你最终将能够在内部甚至是非常困难的结果使用效率的精神速记这不仅可以让你用他们毫不费力,而且还节省了空间,学习心理,甚至更多的物质. （参见“问自己愚蠢的问题“.）
不要害怕学习你的领域以外的东西. 数学恐惧症是在更广泛的社会普遍的问题.不幸的是,有时还存在）在专业数学家（与其远亲,数学势利在一起. 如果原来,为了使您的问题取得进展,你必须学习一些数学外部件,这是一件好事 - 你自己的数学范围将增加,你的工作将变得更加有趣,人们都在您的场,并以人的外场.如果有一个数学领域的活动也很多,它通常是值得学习的,为什么它是如此有趣,什么样的问题,人们试图在那里工作,什么是“酷”令人惊讶的洞察力,现象,结果该领域已产生. （另见我对数学是什么好讨论的.）这样,如果你在自己的工作遇到了类似问题,妨碍或现象,你知道在哪里打开的决议.
了解你的工具的局限性.数学教育（和研究论文）趋向于集中,很自然,对技巧的工作.但同样重要的是知道什么时候你有没有工具的工作,让你不浪费,而这是从一开始就注定战略的时间,而不是去为新的狩猎工具来解决问题（或寻找一个新的问题）.因此,了解一个反例,或轻松地分析了模型库的情况,是非常重要的,以及知道的障碍物的类型,你的工具可以处理,哪些是没有解决的希望.还有一点很值得在什么情况下您所选择的工具可以通过其他方法取代知道,什么的比较优势,是每个做法的利弊.如果你认为某种“魔术棒”的神秘地为您解决问题,没有其他途径获取或理解你的解决办法,那种你喜爱的工具之一,这是一个迹象,表明你需要了解你的工具（和其限制）好多了.
了解其他数学家的工具的能力.这是以前的必然结果.你会发现,当聆听讲座或阅读文件,其中将有兴趣的人使用一个陌生的工具解决问题,但似乎脱离了自己的个人“奇招”范围.当发生这种情况,你应该尝试看看是否自己的工具其实是可以完成类似的任务,但你也应该尝试什么工作提出的其他工具,以便有效的 - 例如,找到最简单的模型,案中的工具做事不平凡的.一旦你有一个优势和相对于旧的新工具优缺点比较,你会记得它准备情况时谈到了今后在该工具将是有益的;给予足够的练习,你会然后可以添加到您的工具永久repetoire.
问问你自己愚蠢的问题 - 并回答他们! 当你学习,无论是在数学书籍或在课堂上,你通常只看到最终产品 - 一个数学题目很完美,聪明,优雅的艺术.然而,新的数学发现过程是非常难以理出头绪,对其中的方向缺飗追求充分é,徒劳无功或无趣.虽然这是很有诱惑力的只是忽略这些“失败”的查询热线,但实际上却变成是至关重要的一个人的更深 了解一个主题,并（通过排除法终于归零的正确途径着手）.因此,一要不怕问“愚蠢”的问题, 挑战传统智慧的一个问题,这些问题的答案,有时会导致一个令人惊讶的结论,但更经常会简单地告诉你,为什么传统的智慧,有摆在首位,这是非常值得了解. 例如,给定一个标准引理中一个主题,你可以问发生了什么,如果你删除一个假设,或试图加强的结论,如果一个简单的结果通常是通过法证明X,您可以询问是否可以通过方法验证Ÿ取代,新的证据可能会低于原来的典雅,或可能无法在所有的工作,但无论在任何情况下,它往往会照亮方法的相对功率X和Y,可在时机成熟时非常有用,证明标准较低引理.
是你自己的工作持怀疑态度.如果你意外地发现一个问题解决本身几乎毫不费力,而且您不是很明白为什么,你应该尝试分析您的解决方案更多的反驳.特别是,该方法还可以更有力证明是已知是虚假的,这将意味着有一个缺陷报表的方法.在一个相关的精神,如果你是想证明一些雄心勃勃的要求,你可以尝试为一个反先看看,要么你找一个,为用户节省了很多时间,很可能是在它自己的权利,否则你可输出特别是遇到一些障碍,应给予一些人以什么做的,以建立积极的索赔线索（它可以“确定的敌人”已被瓦解,从而结束了证明）.其实,这不是一个坏主意,应用此类型的怀疑其他数学家的主张也;如果不出意外,他们可以给你的,为什么这种说法是真实的,它是多么强大的感觉.
想想未来.这实在是容易陷入一些工作的细节,不记得的内容是什么,实际上做的目的,因此它是很好的停顿,然后和现在都记得,为什么一个是追求某个目标. 例如,如果一个人试图证明一个引理,问自己 - 如果引理被证明,但是该如何使用?什么样的引理功能对您最重要的?将一个较弱引理足够?有没有一个简单的引理制定?是值得一试忽略了它的引理假设,如果这个假设似乎难以取得的做法? 通常,该引理确切说法尚未明确之前,一个真正证明了这一点,但你还是应该能够得到刚从知道该引理的形式,即使细节尚未完成对这些问题的某些部分答案.这些问题可以帮助你重新陷入之前试图证明它太多时间你引理其最佳形式,从而使您能够使用您的研究时间,更有效率.同一类型的原则适用于规模较小的比引理（例如,当试图证明一个小要求,或执行一个漫长的计算）和规模较大的比引理（例如,当试图证明一个定理,研究解决问题,或追求研究目标）.
参加会谈和会议,即使是那些不直接与您的工作. 现代数学是非常个人,而不是一个协作活动.您需要知道发生了什么事情在别处数学,数学家发现什么其他有趣的,这往往会放弃自己的工作有价值的观点.您还需要知道谁是谁,无论是在你的领域,并在邻近国家,并与你的同事了解自己.这样你会更好准备当它变成你的工作有一些新的连接到其他地区的数学,或当它成为自然的工作与其他数学家的合作. 是的,它有可能解决的主要问题后,在隔离工作多年 - 但只有在你第一次跟其他所有的数学家和学习的技巧,直觉,以及其他必要的情况下,打击等问题. 哦,不希望去了解任何谈话的100％,尤其是如果它在一个领域是你不熟悉的; 只要你学习的东西,这种努力没有白费,下一次你去了这个问题的话,你会明白更多. （一个人可以把自己的工作,一些曾经默默工作是一个不再让该说的多了.）又见汤姆科纳的“如何听数学讲座”.
研究在不同的地方.这是一个非常好的主意,做您的 研究生 在不同的机构为您 本科学习,并采取一 博士后位置 在不同的地方在那里你做你的研究生学习. 即使是最好的数学系没有在各个领域的优势,因此在几个部门正在将扩大你的数学教育和您接触到的各种数学文化.此外,移动将帮助您从一本科学生的（大）,心理过渡到研究生,或从研究生到博士后研究人员的行为.
向您的顾问. 这是不言而喻的 - 你的导师知道你的情况良好,是指导你的最好来源. 如果事情到这一点,你是积极地避免您的顾问（或反之亦然）,这是一个非常不好的迹象.特别是,你应该为你的顾问的日程知道,反过来你的顾问应该知道当你将可在部门,你正在工作,特别是你应该给你的顾问一些预先警告,如果你要采取一系列远离你的学习时间长的时期.如果你的顾问是不可用,你应该定期讨论与至少一个数学问题,而其他数学家,最好是有经验之一.
采取主动. 另一方面,你不应该单纯依靠在你的顾问; 如果你想你想学些什么,做什么,或写什么东西,只是继续做它（虽然在某些情况下,其他优先事项,如您的论文写作,更重要的可能是暂时）.研究资料库或互联网,与其他学生或研究生教员,谈自己阅读报纸和书籍,等等. （参见“问自己愚蠢的问题”.）
要有耐心. 任何给定的问题通常需要几个月才能取得令人满意的进展.虽然是例行的或意外容易解决的问题可能在几周内下降,这是规则而不是例外.因此,这并非罕见个月,没有明显的进展通过,但通过耐心消除攻击无果而终的途径,您设置了这样的事情,当突破不来,人们可以在相对较短的时间结束的问题.在某些情况下,您（或一般数学领域）根本没有准备好解决这个问题还,在这种情况下,设立它放在一边（但不要忘记它完全）,建立了一些其他相关问题的技能,并返还回来在接下来的几年中原来的问题往往是最优策略.顺便说一下,大多数问题都解决了主要由这种病人排序,周到的攻击;有显着少数“尤里卡!”在这项业务的时候,不要气馁,如果他们不给你奇迹般地出现（他们当然不适合我）.
要灵活.数学研究是由它的性质不可预知的 - 如果我们事先知道答案是什么以及如何做,它不会是研究!因此,你会在意想不到的领导方向,它可能最终你会发现一个新问题或数学比一个你最初的工作,只有这样有趣的领域,而这当然是值得的长期目标,他们不应该一成不变,而应更新时会出现新的发展.这是一个必然结果,一个不应该的基础,如在什么大学学习或工作在职业生涯的决定（）纯粹基于一个单一的教员,因为它可能会变成这个教员可移动或改变您的利益,而你在那里.另一个推论是,它通常不是一个好主意,宣布你是一个人所共知的问题的工作之前,你有一个可行的解决方案,因为这可以使它更难的问题,并优雅地放弃重新专注于更多的关注在事件的生产方向,这个问题比预期的更困难.这也是重要的赠款建议,说这样的事情：“我想解决问题的X>