不定积分e^x(1+e^x)/根号1-e^2xdx
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 01:58:22
不定积分e^x(1+e^x)/根号1-e^2xdx
不定积分e^x(1+e^x)/根号1-e^2xdx
不定积分e^x(1+e^x)/根号1-e^2xdx
令e^x=t x=lnt dx=(1/t)dt
原式=∫[t(1+t)/√(1-t²)](1/t)dt
=∫(1+t)/√(1-t²)dt
令t=sinθ dt=cosθdθ
上式=∫[(1+sinθ)/√(1-sin²θ)](cosθ)dθ
=∫(1+sinθ)dθ
=θ-cosθ+C
θ=arcsint=arcsine^x cosθ=√(1-sin²θ)=√(1-t²)=√(1-e^2x)
原式=arcsine^x-√(1-e^2x)+C
∫ e^x * (1 + e^x)/√(1 - e^2x) dx
∫ e^x/√(1 - e^2x) dx + ∫ e^2x/√(1 - e^2x) dx
= ∫ d(e^x)/√(1 - e^2x) + (-1/2)∫ d(1 - e^2x)/√(1 - e^2x)
**********∫ du/√(1 - u²) = arcsin(u)，∫ du/√u = 2...
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∫ e^x * (1 + e^x)/√(1 - e^2x) dx
∫ e^x/√(1 - e^2x) dx + ∫ e^2x/√(1 - e^2x) dx
= ∫ d(e^x)/√(1 - e^2x) + (-1/2)∫ d(1 - e^2x)/√(1 - e^2x)
**********∫ du/√(1 - u²) = arcsin(u)，∫ du/√u = 2√u**********
= arcsin(e^x) - (1/2) * 2√(1 - e^2x) + constant
= arcsin(e^x) - √(1 - e^2x) + constant
收起
见图片。