已知f（x）=xlnx,g（x）=—x2+ax-3,对一切x∈（0,+无穷）,2f（x）＞g（x）恒成立,则实数a的取值范围
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/27 11:38:36
已知f（x）=xlnx,g（x）=—x2+ax-3,对一切x∈（0,+无穷）,2f（x）＞g（x）恒成立,则实数a的取值范围
已知f（x）=xlnx,g（x）=—x2+ax-3,对一切x∈（0,+无穷）,2f（x）＞g（x）恒成立,则实数a的取值范围
已知f（x）=xlnx,g（x）=—x2+ax-3,对一切x∈（0,+无穷）,2f（x）＞g（x）恒成立,则实数a的取值范围
2xlnx>-x^2+ax-3 x>0
x^2+2xlnx+3>ax
a0
则a
由2f(x)>g（x）
得2xlnx>-x²+ax-3，
∵x>0
∴a<(x²+3+2xlnx)/x
令g(x)=(x²+3+2xlnx)/x=x+3/x+2lnx
则a
即g'(x)=(x+1)(x-3)/x
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由2f(x)>g（x）
得2xlnx>-x²+ax-3，
∵x>0
∴a<(x²+3+2xlnx)/x
令g(x)=(x²+3+2xlnx)/x=x+3/x+2lnx
则a
即g'(x)=(x+1)(x-3)/x
∴当0
∴ g(x)的最小值为g(1)=4
∴a<4。
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由2f(x)≥g(x)，有2xlnx≥-x^2+ax-3，则a≤2lnx+x+3/x，
设h(x)=2lnx+x+3/x (x＞0)，则h′(x)=(x+3)(x-1)/x^2，
①x∈(0,1),h'(x)＜0，h(x)单调递减，②x∈(1，+∞)，h'(x)＞0，h(x)单调递增，
所以h(x)min=h(1)=4，对一切x∈(0，+∞)，
2f(x)≥g(x)...
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由2f(x)≥g(x)，有2xlnx≥-x^2+ax-3，则a≤2lnx+x+3/x，
设h(x)=2lnx+x+3/x (x＞0)，则h′(x)=(x+3)(x-1)/x^2，
①x∈(0,1),h'(x)＜0，h(x)单调递减，②x∈(1，+∞)，h'(x)＞0，h(x)单调递增，
所以h(x)min=h(1)=4，对一切x∈(0，+∞)，
2f(x)≥g(x)恒成立，所以a≤h(x)min=4；
另外，存在x是指在规定区间内有符合条件的x，可能只有一个数符合，也可能有多个数符合。任意是指在规定区间内的所有数都符合。
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