已知三角形ABC的周长为6,BC向量的模,CA向量的模,AB向量的模依次为a,b,c,成等比数列求证0
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 01:12:34
已知三角形ABC的周长为6,BC向量的模,CA向量的模,AB向量的模依次为a,b,c,成等比数列求证0
已知三角形ABC的周长为6,BC向量的模,CA向量的模,AB向量的模依次为a,b,c,成等比数列求证0
已知三角形ABC的周长为6,BC向量的模,CA向量的模,AB向量的模依次为a,b,c,成等比数列求证0
设|向量BC|＝a,|向量CA|＝b,|向量AB|＝c,则有：
a＋b＋c＝6,b^2＝ac
∴a＋c＝6－b,ac＝b^2
从而a、c是方程x^2－(6－b)x＋b^2＝0的两个实数根
由韦达定理得：
(6－b)^2－4b^2≥0
36－12b＋b^2－4b^2≥0
b^2＋4b－12≤0
(b＋6)(b－2)≤0
由于b＞0,故b≤2
另一方面,|a－c|＜b
∴(a－c)^2＜b^2
(a＋c)^2－4ac＜b^2
(6－b)^2－4b^2＜b^2
b^2＋3b－9＞0
由b＞0知：b＞(－3＋3√5)/2
∴(－3＋3√5)/2＜b≤2
而向量BA·向量BC
＝|向量BA|·|向量BC|·cosB
＝ac·(a^2＋c^2－b^2)/(2ac)
＝(a^2＋c^2－b^2)/2
＝[(a＋c)^2－2ac－b^2]/2
＝[(6－b)^2－3b^2]/2
＝－(b＋3)^2＋27
由(－3＋3√5)/2＜b≤2得：(3＋3√5)/2＜b＋3≤5
(27＋9√5)/2＜(b＋3)^2≤25
－(27＋9√5)/2＞－(b＋3)^2≥－25
－(27＋9√5)/2＋27＞－(b＋3)^2＋27≥－25＋27
即：(27－9√5)/2＞－(b＋3)^2＋27≥2
所求的向量BA·向量BC的取值范围是：[2,(27－9√5)/2)
设|向量BC|＝a，|向量CA|＝b，|向量AB|＝c，则有：
a＋b＋c＝6，b^2＝ac
∴a＋c＝6－b，ac＝b^2
从而a、c是方程x^2－(6－b)x＋b^2＝0的两个实数根
由韦达定理得：
(6－b)^2－4b^2≥0
36－12b＋b^2－4b^2≥0
b^2＋4b－12≤0
(b＋6)(b－2)≤0
由于b＞...
全部展开
设|向量BC|＝a，|向量CA|＝b，|向量AB|＝c，则有：
a＋b＋c＝6，b^2＝ac
∴a＋c＝6－b，ac＝b^2
从而a、c是方程x^2－(6－b)x＋b^2＝0的两个实数根
由韦达定理得：
(6－b)^2－4b^2≥0
36－12b＋b^2－4b^2≥0
b^2＋4b－12≤0
(b＋6)(b－2)≤0
由于b＞0，故b≤2
另一方面，|a－c|＜b
∴(a－c)^2＜b^2
(a＋c)^2－4ac＜b^2
(6－b)^2－4b^2＜b^2
b^2＋3b－9＞0
由b＞0知：b＞(－3＋3√5)/2
∴(－3＋3√5)/2＜b≤2
而向量BA·向量BC
＝|向量BA|·|向量BC|·cosB
＝ac·(a^2＋c^2－b^2)/(2ac)
＝(a^2＋c^2－b^2)/2
＝[(a＋c)^2－2ac－b^2]/2
＝[(6－b)^2－3b^2]/2
＝－(b＋3)^2＋27
由(－3＋3√5)/2＜b≤2得：(3＋3√5)/2＜b＋3≤5
(27＋9√5)/2＜(b＋3)^2≤25
－(27＋9√5)/2＞－(b＋3)^2≥－25
－(27＋9√5)/2＋27＞－(b＋3)^2＋27≥－25＋27
即：(27－9√5)/2＞－(b＋3)^2＋27≥2
所求的向量BA·向量BC的取值范围是：[2，(27－9√5)/2)
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