任给7个实数x(k) (k=1,2,…,7).证明其中有两个数x(i),x(j),满足不等式0≤[x(i)-x(j)]/[1+x(i)*x(j)任给7个实数x(k) (k=1,2,…,7).证明其中有两个数x(i),x(j),满足不等式0≤[x(i)-x(j)]/[1+x(i)*x(j)] ≤1/(根号3).
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/25 21:30:50
任给7个实数x(k) (k=1,2,…,7).证明其中有两个数x(i),x(j),满足不等式0≤[x(i)-x(j)]/[1+x(i)*x(j)任给7个实数x(k) (k=1,2,…,7).证明其中有两个数x(i),x(j),满足不等式0≤[x(i)-x(j)]/[1+x(i)*x(j)] ≤1/(根号3).
任给7个实数x(k) (k=1,2,…,7).证明其中有两个数x(i),x(j),满足不等式0≤[x(i)-x(j)]/[1+x(i)*x(j)
任给7个实数x(k) (k=1,2,…,7).证明其中有两个数x(i),x(j),
满足不等式0≤[x(i)-x(j)]/[1+x(i)*x(j)] ≤1/(根号3).
任给7个实数x(k) (k=1,2,…,7).证明其中有两个数x(i),x(j),满足不等式0≤[x(i)-x(j)]/[1+x(i)*x(j)任给7个实数x(k) (k=1,2,…,7).证明其中有两个数x(i),x(j),满足不等式0≤[x(i)-x(j)]/[1+x(i)*x(j)] ≤1/(根号3).
最简单的证明方法:
因为正切函数y=tan(x)是值域为R的函数,所以总可以找到(-90度,90度)上的7个角度A1,A2,...A7,使得tan(Ai) = x(i).
那么[x(i) - x(j)]/[1+x(i)*x(j)] = [tan(Ai) - tan(Aj)] / [1 + tan(Ai)tan(Aj)] = tan(Ai-Aj)
不妨设Ai>=Aj,因为如果Ai
明:令x(k)=tanα(k) (k =l,2,…,7),α(k)∈(-π/2 ,π/2 ),
则原命题转化为:
证明存在两个实数α(i),α(j)∈(-π/2 ,π/2 ),满足0≤tan(αi-αj)≤1/(根号3)
由抽屉原则知,α(k) 中必有 4个在[0,π/2 )中或在(-π/2 ,0 )中,不妨设有4个在[0,π/2 )中.注意到tan0=0,tan...
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明:令x(k)=tanα(k) (k =l,2,…,7),α(k)∈(-π/2 ,π/2 ),
则原命题转化为:
证明存在两个实数α(i),α(j)∈(-π/2 ,π/2 ),满足0≤tan(αi-αj)≤1/(根号3)
由抽屉原则知,α(k) 中必有 4个在[0,π/2 )中或在(-π/2 ,0 )中,不妨设有4个在[0,π/2 )中.注意到tan0=0,tan(π/6) = 1/(根号3),而在[[0,π/2 )内,tanx是增函数,故只需证明存在αi,αj,使0<αi-αj < π/6即可。为此将[0,π/2 )分成三个小区间:[0,π/6 ]、(π/6 ,π/3 ]、( π/3,π/2 )。又由抽屉原则知,4个α(k)中至少有2个比如αi,αj同属于某一区间,不妨设αi>αj,则0≤αi-αj ≤π/6 ,故0≤tan(αi-αj)≤1/(根号3).
这样,
与相应的xi=tanαi、xj=tanαj,便有0≤[x(i)-x(j)]/[1+x(i)*x(j)] ≤1/(根号3)
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证明:由于是任意7个实数,可以设该7个数为tan(Yk),0≤Yk≤π,其中tan(Yk)=x(k),
所以x(i)=tanα,x(j)=tanβ
[x(i)-x(j)]/[1+x(i)*x(j) ]=(tanα-tanβ)/(1+tanα*tanβ)=tan(α-β)
要使0≤[x(i)-x(j)]/[1+x...
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证明:由于是任意7个实数,可以设该7个数为tan(Yk),0≤Yk≤π,其中tan(Yk)=x(k),
所以x(i)=tanα,x(j)=tanβ
[x(i)-x(j)]/[1+x(i)*x(j) ]=(tanα-tanβ)/(1+tanα*tanβ)=tan(α-β)
要使0≤[x(i)-x(j)]/[1+x(i)*x(j)] ≤1/(根号3).
必有0≤ tan(α-β)≤1/(根号3).
又因为α与β均在[0,π],所以原命题等价于
在[0,π]上有7个任意角,其中必有两角之差 0 ≤(α-β)≤π/6
[0,π]上有7个任意角将[0,π]最多分成6个部分,相邻两角平均差为(π-0)/6=π/6,
所以该7个角中必有两个角α,β的差小于或等于π/6,
则必有0≤ tan(α-β)≤1/(根号3).
得证。
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1
任给7个实数x(k) (k=1,2,…,7)且x1>x2>x3>x4>x5>x6>x7
(xi-xj)/(1+xixj)
xi=tga,xj=tgb
tga-tgb=(sinacosb-sinbcosa)/(cosacosb+sinasinb)
=sin(a-b)/cos(a-b)
=tg(a-b)
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任给7个实数x(k) (k=1,2,…,7)且x1>x2>x3>x4>x5>x6>x7
(xi-xj)/(1+xixj)
xi=tga,xj=tgb
tga-tgb=(sinacosb-sinbcosa)/(cosacosb+sinasinb)
=sin(a-b)/cos(a-b)
=tg(a-b)
2kπ≤a-b≤2kπ+π/6
2kπ≤arctan(xi)-arctan(xj)≤2kπ+π/6
0≤(xi-xj)/(1+xixj)≤1/√3
2 取7个实数x(k) (k=1,2,…,7),x1>x2>x3>x4>x5>x6>x7
x1-x6>0假设
(2k1+1)π-π/6>arctan(x1)-arctan(x2)>2k1π+π/6
(2k2+1)π-π/6>arctan(x2)-arctan(x3)>2k2π+π/6
(2k3+1)π-π/6>arctan(x3)-arctan(x4)>2k3π+π/6
(2k4+1)π-π/6>arctan(x4)-arctan(x5)>2k4π+π/6
(2k5+1)π-π/6>arctan(x5)-arctan(x6)>2k5π+π/6
(2k6+1)π-π/6>arctan(x6)-arctan(x7)>2k6π+π/6
则有2kπ+π/6>arctan(x1)-arctan(x6)>2kπ
0≤(x1-x6)/(1+x1x6)≤1/√3
所以任意7个实数中,都可以选出两个实数xi,xj
0≤[x(i)-x(j)]/[1+x(i)*x(j)] ≤1/√3
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