在证明极限的唯一性中,为什么要有N=max{N1,N2}这一步?另外,a-b的绝对值是什么意思?为什么要这样做?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/23 22:15:23
在证明极限的唯一性中,为什么要有N=max{N1,N2}这一步?另外,a-b的绝对值是什么意思?为什么要这样做?
在证明极限的唯一性中,为什么要有N=max{N1,N2}这一步?另外,a-b的绝对值是什么意思?为什么要这样做?
在证明极限的唯一性中,为什么要有N=max{N1,N2}这一步?另外,a-b的绝对值是什么意思?为什么要这样做?
我先证一下,我没书,不一定与书上完全一致
设有两个极限,a,b,且b>a,取ε=(b-a)/2,
由极限定义存在N1>0,当n>N1时,有|xn-a|N1时成立,并不是对所有xn成立）
存在N2>0,当n>N2时,有|xn-b|N时（注意：因为N是N1和N2中较大的,此时n>N1和n>N2就同时成立了）
此时：|xn-a|
先看唯一性如何证明出来：
设：lim an=a，同时，lim an=b，则证：a=b
根据定义：
任意ε>0，存在N1>0，当n>N1，有|an-a|<ε/2
对上述ε>0，存在N2>0，当n>N2，有|an-b|<ε/2
取N=max{N1,N2}，则当n>N，上两不等式都成立
于是，|a-b|≤|an-a|+|an-b|<ε/2+ε/2=ε
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先看唯一性如何证明出来：
设：lim an=a，同时，lim an=b，则证：a=b
根据定义：
任意ε>0，存在N1>0，当n>N1，有|an-a|<ε/2
对上述ε>0，存在N2>0，当n>N2，有|an-b|<ε/2
取N=max{N1,N2}，则当n>N，上两不等式都成立
于是，|a-b|≤|an-a|+|an-b|<ε/2+ε/2=ε
即，任意ε>0，有|a-b|<ε，故a=b
对于第一个问题：为什么要有N=max{N1,N2}这一步？？
这是因为，在后面的证明中，需要用到定义中的两个不等式
而，这两个不等式的成立是需要一定的条件的（分别为：当n>N1和当n>N2）
那么，我只需要取N为N1与N2的最大值，那么当n>N时，两不等式肯定成立了
对于第二个问题：a-b的绝对值是什么意思？？
这涉及到两数相等的证明
先要讲如何证明两数(a,b)不相等：
要证明a,b不相等，就一定要找出一个确定的数c，使得：|a-b|=c
现在，如果我找不到一个确定的数c，那么a，b就只能相等了
回到这题：
任意ε>0，有|a-b|<ε
这就意味着，我无法找到一个确定的数c，使得|a-b|=c
那么，a就只能与b是相等的
这就和0.99循环与1相等一样，
尽管看起来样子有点不同，但我们无法找到一个确定的数c，使1-c=0.99…9…
有不懂欢迎追问
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我先证一下，我没书，不一定与书上完全一致
设有两个极限，a，b，且b>a，取ε=(b-a)/2，
由极限定义存在N1>0，当n>N1时，有|xn-a|<(b-a)/2，
（注意：上面这个式子只有在n>N1时成立，并不是对所有xn成立）
存在N2>0，当n>N2时，有|xn-b|<(b-a)/2，
取N=max{N1,N2}，当n>N时（注意：因为N是N1和N...
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我先证一下，我没书，不一定与书上完全一致
设有两个极限，a，b，且b>a，取ε=(b-a)/2，
由极限定义存在N1>0，当n>N1时，有|xn-a|<(b-a)/2，
（注意：上面这个式子只有在n>N1时成立，并不是对所有xn成立）
存在N2>0，当n>N2时，有|xn-b|<(b-a)/2，
取N=max{N1,N2}，当n>N时（注意：因为N是N1和N2中较大的，此时n>N1和n>N2就同时成立了）
此时：|xn-a|<(b-a)/2，|xn-b|<(b-a)/2 同时成立
将两个式子的绝对值去掉得：
-(b-a)/2 < xn-a < (b-a)/2 可得出：xn<(a+b)/2
-(b-a)/2 < xn-b < (b-a)/2 可得出：xn>(a+b)/2
这样两个结论同时被推出，所以矛盾了。
另外，有关ε的证明是难点，但不是重点，实在不明白，可以只看结论，过程跳过。不影响以后学习。
希望可以帮到你，不明白可以追问，如果解决了问题，请点下面的"选为满意回答"按钮，谢谢。
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