质数a异于3,则a的平方除以3余1.求证明.我试了很多数的确如此,当我想知道为什么.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/27 23:35:51
质数a异于3,则a的平方除以3余1.求证明.我试了很多数的确如此,当我想知道为什么.
质数a异于3,则a的平方除以3余1.
求证明.我试了很多数的确如此,当我想知道为什么.
质数a异于3,则a的平方除以3余1.求证明.我试了很多数的确如此,当我想知道为什么.
a=2时,a²=4,符合题意
a≥5时,只需证明a²-1是24的倍数
∵a²-1=(a+1)(a-1)
a+1,a,a-1为3个连续的正整数,必有一个能被3整除,
显然a不能,则a+1和a-1有一个为3的倍数.
正整数a除以4 后余数有4种可能：0,1,2,3,
由于a是质数 ,排除0和2（大于3的质数为奇）.
则可能情况剩下2种：余1或者3..
若a除以4余3,则a+1被4整除,且a-1是偶数,能被2整除
所以在a+1,a-1中,有2的倍数,3的倍数,4的倍数
∴(a+1)(a-1)为2×3×4=24的倍数
若a除以4余1,则a-1被4整除,且a+1是偶数,能被2整除
仍有(a+1)(a-1)为24的倍数
综上,a²-1能被24整除,当然能被3整除
即质数a异于3,则a的平方除以3余1.
不知道楼主数学什么水平，我在这里用初等数论来解释。
首先我们将质数分为大于3，3和2，显然 2的时候成立。
接着，我们讨论大于3的情况：
我们可以将所有大于3的质数表示为（3+2a）的形式a为正整数（大于3的质数均为奇数）
平方后展开为9+12a+4a^2，显然（9+12a）可以被3整除，再讨论a的情况
1、a除3余1时，4a^2除3余一（同余解释）
全部展开
不知道楼主数学什么水平，我在这里用初等数论来解释。
首先我们将质数分为大于3，3和2，显然 2的时候成立。
接着，我们讨论大于3的情况：
我们可以将所有大于3的质数表示为（3+2a）的形式a为正整数（大于3的质数均为奇数）
平方后展开为9+12a+4a^2，显然（9+12a）可以被3整除，再讨论a的情况
1、a除3余1时，4a^2除3余一（同余解释）
2、a除3余2时，a^2模三余一，4a^2除3余1（同余解释）
3、a可被3整除时，（3+2a）不为质数，不合题意。
综上所述，原命题得证。
收起