已知a1,a2,...an∈(0,∏),n是大于1的正整数,求证│sin（a1+a2+...+an）│
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/08 17:11:52
已知a1,a2,...an∈(0,∏),n是大于1的正整数,求证│sin（a1+a2+...+an）│
已知a1,a2,...an∈(0,∏),n是大于1的正整数,求证│sin（a1+a2+...+an）│
已知a1,a2,...an∈(0,∏),n是大于1的正整数,求证│sin（a1+a2+...+an）│
我们证明一个更普遍的结论：
命题：如果a1,a2,...,an均不是pi的整数倍,那么│sin（a1+a2+...+an）│<|sin a1|+|sin a2|+...+|sin an|
命题的证明:
先证一个引理：
|sin(x+y)|<=|sin x|+|sin y|,等号成立当且仅当x或y是pi的整数倍.
引理的证明：
|sin(x+y)|
=|sin x*cos y+sin y*cos x|
<=|sin x|*|cos y|+|sin y|*|cos x|
<=|sin x|+|sin y|
等号成立当且仅当x或y是pi的整数倍.
回到命题的证明.
采用数学归纳法.
n=2的时候,只需证|sin(a1+a2)|<|sin a1|+|sin a2|
由引理可知
|sin(a1+a2)|<=|sin a1|+|sin a2|,等号成立当且仅当a1或a2是pi的整数倍,但这是不可能的!（条件里面有a1,a2均不是pi的整数倍）
设n=k时,命题成立.（k>=2）
n=k+1时
设x=a1+...+ak,y=a(k+1)
于是由归纳假设,知|sin x|<|sin a1|+...+|sin ak|
由引理知
|sin (x+y)|<=|sin x|+|sin y|
<|sin a1|+...+|sin ak|+|sin y|
=|sin a1|+...+|sin ak|+|sin a(k+1)|
所以|sin (a1+...+ak+a(k+1))|<|sin a1|+...+|sin ak|+|sin a(k+1)|
命题得证.
回到本题.将本题中的a1,...,an直接带入命题,即得命题的结论.于是本题得证.
回复楼上：楼主的题目似乎有a1,a2...an均属于(0,pi),这条件必不可少啊!
至于普遍性,楼主的题目实际上是要证明a1,a2...an均属于(0,pi)的时候,有|sin(a1+...+an)|<|sina1|+...+|sinan|
我的结论同时也证明了对于a1,a2,..an每个数乘以系数1或者-1然后求代数和也成立,比如|sin(a1-a2+a3+a4+...+an)|<|sina1|+...+|sinan|,这是不是比楼主的结论更普遍呢?
其实证明并不困难,用归纳法更容易表述一些.
我暂时做不出，以前做过，老师也讲过
先提示下：好像用向量
哎~刚才打雷下机了~被你写了...
二楼的结论比原命题更普遍吗？ 二楼的结论是对的， 而且证明也非常好。但我觉得楼主的命题是不正确的。 当a1=a2=...=an＝－pi/2n时，左式是1，右式是一个负数，式子不成立的。
回复二楼：如果可以加上条件an属于（0，pi），我顶！
这个命题是显然错误的随便取个特殊值代入计算就知道取an属于(∏/2,∏) ,显然sinan<0 即不等式右边<0显然不等式左边>=0 可知命题不成立