已知a1,a2,a3…an∈R+,且a1a2a3…an=1,求证（1+a1）（1+a2）…（1+an）≥2^n
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/22 22:30:56
已知a1,a2,a3…an∈R+,且a1a2a3…an=1,求证（1+a1）（1+a2）…（1+an）≥2^n
已知a1,a2,a3…an∈R+,且a1a2a3…an=1,求证（1+a1）（1+a2）…（1+an）≥2^n
已知a1,a2,a3…an∈R+,且a1a2a3…an=1,求证（1+a1）（1+a2）…（1+an）≥2^n
用数学归纳法证明
n=2时
（1+a1）（1+a2）=1+a1a2+a1+a2=2+a1+a2>=2+2√a1a2=4
命题成立
假设n=k时命题成立
n=k+1时 由于a1a2a3…a（k+1）=1
所以必存在ai,aj ai>=1>=aj
不妨设a1>=1>=a2
将a1*a2看成1个数 就成了n=k的情况
(1+a1a2)(1+a3).(1+a(k+1))>=2^(k)
只需要证明(1+a1)(1+a2)>=2(1+a1a2)就可以了
化简 a1+a2-1-a1a2=(a1-1)(1-a2)>0
故(1+a1)（1+a2）(1+a3).(1+a(k+1))>=2^(k+1)
证毕
具体不好写，讲个思路吧！
只要你明白2ab小于等于a的平方+b的平方这个道理就好了
在这里a假设1和a2相乘为1，那么当a1=a2时，（1+a1）（1+a2）=2*2
如果a1不等于a2，那么（1+a1）（1+a2）=1+a1+a2+a1a2=2+a1+a2
其中a1+a2>2*（根号下a1a2）
所以得证
用数学归纳法证明
当n=1时
左边=1+a1 右边=2^1=2
1+a1≥2
所以命题成立
所以假设n=k时命题成立
当n=k+1时
由于a1a2a3…a（k+1）=1
所以必存在ai,aj ai>=1>=aj
不妨设a1>=1>=a2
将a1*a2看成1个数 就...
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用数学归纳法证明
当n=1时
左边=1+a1 右边=2^1=2
1+a1≥2
所以命题成立
所以假设n=k时命题成立
当n=k+1时
由于a1a2a3…a（k+1）=1
所以必存在ai,aj ai>=1>=aj
不妨设a1>=1>=a2
将a1*a2看成1个数 就成了n=k的情况
(1+a1a2)(1+a3)....(1+a(k+1))>=2^(k)
只需要证明(1+a1)(1+a2)>=2(1+a1a2)就可以了
化简 a1+a2-1-a1a2=(a1-1)(1-a2)>0
故(1+a1)（1+a2）(1+a3)....(1+a(k+1))>=2^(k+1)
所以命题成立
所以 1+a1）（1+a2）…（1+an）≥2^n
证毕
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