关于棣莫弗定理棣莫弗定理,即(cosφ+isinφ)^n=cosnφ+isinnφ对于三角式(cosφ+sinφ)^n=cosnφ+sinnφ成立吗如何证明?

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/24 21:38:51
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关于棣莫弗定理
棣莫弗定理,即(cosφ+isinφ)^n=cosnφ+isinnφ
对于三角式(cosφ+sinφ)^n=cosnφ+sinnφ成立吗
如何证明?

关于棣莫弗定理棣莫弗定理,即(cosφ+isinφ)^n=cosnφ+isinnφ对于三角式(cosφ+sinφ)^n=cosnφ+sinnφ成立吗如何证明?
不成立!
“cosφ+sinφ”是实数,化为三角形式为:
当cosφ+sinφ≥0时,
cosφ+sinφ=|cosφ+sinφ|(cos0+isin0)
当cosφ+sinφ<0时,
cosφ+sinφ=|cosφ+sinφ|(cosπ+isinπ)
所以,cosφ+sinφ的模是|cosφ+sinφ|,它的辐角是:0或π,而不是φ!
当cosφ+sinφ≥0时,
(cosφ+sinφ)^n=|cosφ+sinφ|^n(cos0+isin0)
当cosφ+sinφ<0时,
(cosφ+sinφ)^n=|cosφ+sinφ|^n(cosnπ+isinnπ)

不成立。
a=45度时
cosa+sina=根号2
(cosφ+sinφ)^n=2^(n/2)
当n>=2时
(cosφ+sinφ)^n=2^(n/2)>=2
而cosnφ+sinnφ 最大值为根号2
2>根号2
所以
n>=2时 都不成立

不成立啊
取n=2,则(cosφ+sinφ)^2=1+2cosφsinφ=1+sin2φ
但这时cos2φ=1不能恒成立。
所以那个三角式是不成立的