试阐述经典热容理论,爱因斯坦量子热容理论及德拜热容理论,并说明它们的不同之处

试阐述经典热容理论,爱因斯坦量子热容理论及德拜热容理论,并说明它们的不同之处
试阐述经典热容理论,爱因斯坦量子热容理论及德拜热容理论,并说明它们的不同之处

试阐述经典热容理论,爱因斯坦量子热容理论及德拜热容理论,并说明它们的不同之处
热容是反映物体热学性质的重要物理量,研究固体热容有助于我们深入了解固体的热学性质 .因此,固体热容的研究在固体理论中占有重要地位.固体热容理论的建立经历了由经典理 论到量子理论的发展过程.?
1 固体热容的经典理论?
热容是与系统能量有关的重要物理里量,它的大小与物体的性质及传递热量的过程有关,可 以反映出物体的固有属性.固体与我们的生活息息相关,因此研究固体热容就具有十分重要 的意义.?
固体中的原子在其平衡位置附近作微振动,假设各原子的振动是相互独立的简谐振动,原子 在一个振动自由度的能量,根据能量均 分定理,可得出以下结论：热容量为3Nk,是一个与 温度无关的常数.这一结论称作杜隆－珀替定律.该定律与实验结果相比,在室温附近及较 高温度很符合,但在低温时,测得的热容量很小,热容数值随温度降低很快,当温度趋于零 时,热容也趋于零.这种现象是经典统计理论所不能解释的.在量子论建立以后,发现能量 均分定理存在局限性,而需用新公式代替.?
2 固体热容的量子理论?
根据量子热容理论,各个简谐振动的能量是量子化的,即频率为的振动能量为
利用玻尔兹曼统计理论,得到在温度T时的平均能量为〔1〕： ?
N个原子构成的晶体,晶格振动等价于3N个谐振子的振动,总的热振动能为： ?
引入模式密度D（ω）：单位频率区间的格波振动模式数.由于频率是准连续的,加式可用 积分表示：?
则：? ?
因此问题的关键是求模式密度,但这又是很复杂的,为了回避这一困难,在求固体热容时, 人们通常采用近似的方法.?
2.1 爱因斯坦理论?
爱因斯坦应用普朗克量子论带固体中原子的振动,他假定晶体中所有原子都以相同的频率作 振动,这一假定实际上是忽略了谐振子之间的差异,认为3N个谐振子是全同的.由于每一个 谐振子都定域在其平衡位置附近做微振动,振子是可分辨的,遵从玻尔兹曼分布.根据式（ 1）得： ?
则：?

这与经典统计理论相同.究其原因,这是由于此时能级间距远小于kT,能量量子化效应可忽 略,因此经典统计是适用的.?
在低温T《θE时,定容热容量为：?
因此在低温时,定容热容量按指数衰减.当温度趋于零时,定容量也趋于零.这是由于当温 度趋于零时,振子能级间距hω远大于kT,振子由于热运动取得能量hω而跃进到激发态的概 率是极小的,因此平均而言几乎全部振子冻结在基态.?
这个结论与实验结果定性符合,但是爱因斯坦固体热容理论在定量上与实验符合得不好.实 验测得的定容热容量,比爱因斯坦理论值趋于零速度慢.这是由于在爱因斯坦理论中作了过 分简化的假设,即：3N个振子都有相同的频率.这忽视了各格波对热容贡献的差异.?
按照爱因斯坦温度的定义,可估计出爱因斯坦频率大约为1013?HZ〔1〕?,相当 于光学支频率.由于格波频率越高,其热振动能越小,爱因斯坦考虑的格波频率很高,其热 振动能很小,对热容的贡献本来不大,当温度很低时,就更微不足道了.因此在其低温度下 ,晶体的热容量主要有长声学波来决定.爱因斯坦把所有格波都视为光学波,实际上没考虑 长声学波在甚低温时对热容的主要贡献,自然会导致其理论热容在甚低温下与实验热容偏差 很大.这也说明,要在甚低温下使理论热容与实验相符,应主要考虑长声学格波的贡献.?
2.2 德拜理论?
由于长声学波就是弹性波,德拜将固体看作各向同性连续弹性媒质,晶体的43N个简偕振动 是弹性媒质的基本波动,固体上任意的弹性媒质都可分解为3N个简偕振动的叠加.固体上传 播的弹性波有纵波和横波两种,它们的传播速度相同.?
根据计算的总得模式密度为：
?
Vc为晶体体积,V为弹性波的速度.?
因此定容热容量与成正比,这称作律.这一结论对于绝缘体是与实验事实相符合的,并 且温度越低符合程度越好.但对于金属,情况就是有些差异.?
因此对于固体热容,由于原子在平衡位置的相互势能是体积的函数,这一部分内能对热能 无贡献.对热容有贡献的内能,对于绝缘体,就是晶体振动能量,对于金属,它由两部分构 成：一部分是晶体格振动能,另一部分是价电子的热动能.?
因此对于金属,除了晶格振动能还需计及电子对热容的贡献.在长温下,由于费米球内 部离费米面远的状态全被电子占据,这些电子从晶体格振动获取的能量不足以使其越迁到费 米面附近或以外的空状态,能够发生跃迁的仅是费米面附近的小数电子.也就是说,绝大多 数的电子其能量不随温度变化,其能量随温度变化的只是少数电子, 这就势必导致电子平 均能量的温度变化率很小的局面.因此当温度T在3K以上时,金属可忽略电子对热容的贡献 ,所以仍符合T3律.?
通过计算得出电子定容热容量Cv〔3〕：
?
TF为费米温度?
由此得出定容热容量与温度一次方成正比.因此在低温范围,电子热容量减小比较缓慢 .所以在足够低温度下,电子热容量将大于离子振动的热容量而成为对金属热容量的主要贡 献.因此当时,晶体热容速度减小,此时电子的热容量达到不可忽略的程度,金属的热容量 应计及价电子与晶格振动两部分贡献.此时,德拜理论不仅可以很好的解释绝缘体的热容量 ,对于金属,如果考虑了电子热动能后,也可以很好的解释了.但德拜理论却有其他缺憾之 处.?
?计算得出,德拜温度是一个常数,与温度无关.但事 实 却不然,用实验测出在不同温度下的定容热容量,求出德拜温度,结果发现德拜温度与温度 无关.究其原因,这是由于：①它忽略了晶体的各项异性.实际的固体是具有一定的对称性 的晶体结构,呈各向异性,并 且当波长与原子间平均距离可以比拟时,晶体的各向异性对模式密度的影响变的很重要,因 此各向同性的连续介质模型是不符合的.②它忽略了光学波和高频声学波对热容的贡献.当 弹性波频率很高时光学波和高频声学波对热容的贡献不可忽视,但光学波和高频声学波是色 散波,它们的模式密度比弹性波要复杂的多.③德拜理论只适用于单原子晶体,对分子晶体 不适用.