直线与平面的夹角在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中,角ABC=90度,SA垂直于平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=二分之一（1）求直线SA与平面SCD所成角的正弦值（2）求面SAB与面SCD所成二面角的余弦值

直线与平面的夹角在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中,角ABC=90度,SA垂直于平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=二分之一（1）求直线SA与平面SCD所成角的正弦值（2）求面SAB与面SCD所成二面角的余弦值
直线与平面的夹角
在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中,角ABC=90度,SA垂直于平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=二分之一
（1）求直线SA与平面SCD所成角的正弦值
（2）求面SAB与面SCD所成二面角的余弦值

直线与平面的夹角在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中,角ABC=90度,SA垂直于平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=二分之一（1）求直线SA与平面SCD所成角的正弦值（2）求面SAB与面SCD所成二面角的余弦值
1.直线SA与面SCD所成角的正弦值,无疑就是用A点到面SCD的距离h,比上SA的距离,SA已知为1,故,只需求出A到面SCD的距离h即可,可通过四面体体积的转换法求出h：
取SC中点F,连接FD,取BC的中点E,连接DE
观察四面体SACD
∵SA⊥面ABCD,无疑,SA为四面体SACD中面ACD上的高,∴四面体SACD的体积可表示为：S△ACD*SA/3 ①
而△ACD的面积可由直角梯形ABCD与三角形ABC的面积相减得来,代入各已知边长,可求出为：S△ACD=S直角梯形ABCD-S△ABC=(AD+BC)*AB/2 - AB*BC/2=1/4
将此值代入四面体SACD的①表达式,可得其体积为V(SACD)=1/12
∵h为A点到面SCD的距离,∴SACD的体积显然还可以表示成:V(SACD)=h*S△SCD/3=1/12 ②
问题的关键在于求出△SCD的面积：
由于E为BC中点,∴BE=CE=BC/2=1/2,于是BE=AD,且∵AD‖BC,∴四边形ABED为矩形,有AB‖DE且DE=AB=1
由于∠ABC=90°,AB⊥BC,于是DE⊥BC,∠DEC=90°
SA⊥面ABCD,有SA⊥AD,∠SAD=90°
于是在Rt△SAD与Rt△DEC中,两对直角边SA=DE=1,AD=CE=1/2,故斜边SD=SC
=√5/2
由此可知△SCD为等腰三角形,底边SD的三线合一,F为SC中点,∴DF⊥SC,且CF=SC/2
由SA⊥面ABCD,可得SA⊥AB,SA⊥BC,且BC⊥AB,故BC⊥面SBA,∴BC⊥SB,SB可在Rt△SAB中求出为√2,SC可在Rt△SBC中求出为√3
于是CF=SF=√3/2
可在Rt△CFD中求出DF=√2/2
故,S△SCD=SC*FD/2=√6/4
代入②,可得出:
(√6/4)*h/3=1/12
h=√6/6
故,SA与面SCD所成角的正弦值为h/SA=√6/6
2.连接EF,AC,设AC与DE交于点O,各取CD、DF的中点M、N,连接OM,ON,MN,OF
易证O同时为DE与AC的中点
由O、M分别为AC、CD中点,可得OM=AD/2=1/2,且OM‖AD
O为DE中点,可得OE=OD=DE/2=1/2
O、F分别为AC、SC中点,可得OF‖SA且OF=SA/2=1/2
E,F分别为BC,SC中点,可得EF=SB/2=√2/2
故,面SAB与面DEF中,各有两条相交直线SA‖OF,AB‖DE（第1问已证）,故两面平行,于是,所要求的面SAB与SCD的二面角即为面DEF与面SCD所成的二面角!
SA⊥面ABCD,SA‖OF,于是OF⊥面ABCD,OF⊥DE,再由之前所求,可得到OD=OE=OF,显然易证△DEF为等腰直角三角形,DE为斜边,故EF⊥DF
而N、O分别为DF、DE中点,故ON‖EF,且ON=EF/2=√2/4,再由EF⊥DF,可得
ON⊥DF
由于BC已证垂直于面SAB,∴AD⊥面SAB,AD⊥面DEF,OM⊥面DEF,OM⊥ON
而第1问中已证DF⊥SC,故有MN⊥DF,结合之前证明的ON⊥DF,且DF为面DEF与面SCD的交线,可得出∠ONM即为面DEF与SCD所成的二面角（即SAB与SCD所成二面角）
由OM⊥ON,∠MON=90°,运用勾股定理和ON=√2/4,OM=1/4,求出MN=√3/4
（也可通过MN=CF/2=SC/4求出）
故在Rt△OMN中,cos∠ONM=ON/MN=√6/3
即,所要求的面SAB与面SCD所成二面角的余弦值为√6/3

1.根号6除以6
2.根号6除以3