导数 y=a^x导数证明中的步骤y=a^x,Δy=a^(x+Δx)-a^x=a^x(a^Δx-1)Δy/Δx=a^x(a^Δx-1)/Δx如果直接令Δx→0,是不能导出导函数的,必须设一个辅助的函数β=a^Δx-1通过换元进行计算.由设的辅助函数可以知道：Δ
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 07:27:28
导数 y=a^x导数证明中的步骤y=a^x,Δy=a^(x+Δx)-a^x=a^x(a^Δx-1)Δy/Δx=a^x(a^Δx-1)/Δx如果直接令Δx→0,是不能导出导函数的,必须设一个辅助的函数β=a^Δx-1通过换元进行计算.由设的辅助函数可以知道：Δ
导数 y=a^x导数证明中的步骤
y=a^x,
Δy=a^(x+Δx)-a^x=a^x(a^Δx-1)
Δy/Δx=a^x(a^Δx-1)/Δx
如果直接令Δx→0,是不能导出导函数的,必须设一个辅助的函数β=a^Δx-1通过换元进行计算.由设的辅助函数可以知道：Δx=loga(1+β).
所以(a^Δx-1)/Δx=β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β
显然,当Δx→0时,β也是趋向于0的.而limβ→0时,(1+β)^1/β=e,所以limβ→0时,1/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna.
把这个结果代入limΔx→0时,Δy/Δx=limΔx→0时,a^x(a^Δx-1)/Δx后得到limΔx→0Δy/Δx=a^xlna.
可以知道,当a=e时有y=e^x y'=e^x.
以上是证明y=a^x的导数的有关过程
请问 (a^Δx-1)/Δx=β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β是什么意思 还有为什么limβ→0时,(1+β)^1/β=e,
导数 y=a^x导数证明中的步骤y=a^x,Δy=a^(x+Δx)-a^x=a^x(a^Δx-1)Δy/Δx=a^x(a^Δx-1)/Δx如果直接令Δx→0,是不能导出导函数的,必须设一个辅助的函数β=a^Δx-1通过换元进行计算.由设的辅助函数可以知道：Δ
就是把所设辅助函数β=a^Δx-1代入就得到了这个结果呀：
(a^Δx-1)/Δx
=β/loga(1+β)
=1/[(1/β)loga(1+β)]
=1/loga(1+β)^1/β
2.我们是将这个极限最终所趋向的那个数称为e ,也就是取名为e,而不是它趋向于e:
(a^Δx-1)/Δx=β/loga(1+β) 这一步是代入
=1/loga(1+β)/β 将β 除下来
=1/1/ β loga(1+β) 除以β相当于乘以1/ β
=1/loga(1+β)^1/β 对数的运算法则 nlogab=log...
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(a^Δx-1)/Δx=β/loga(1+β) 这一步是代入
=1/loga(1+β)/β 将β 除下来
=1/1/ β loga(1+β) 除以β相当于乘以1/ β
=1/loga(1+β)^1/β 对数的运算法则 nlogab=logab^n
limβ→0时，(1+β)^1/β=e 这是一个公式，需要用高等数学的知识才能证明
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(a^Δx-1)/Δx=β/loga(1+β)=1/loga[(1+β)^(1/β)]
β→0时，lim ln[(1+β)^1/β]=lim [ln(1+β)/β]=lim [ln(1+β)]'/(β)'=lim1/(1+β)=1,
所以β→0时，lim [(1+β)^(1/β)]=e,