点P为三角形ABC内一点,使得角ABP=角ACP,过点P作PE垂直AB于E,PE垂直AC于F,点M,N分别为线段BC,EF的中点.求证MN垂直EF.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/12 00:15:04
点P为三角形ABC内一点,使得角ABP=角ACP,过点P作PE垂直AB于E,PE垂直AC于F,点M,N分别为线段BC,EF的中点.求证MN垂直EF.
点P为三角形ABC内一点,使得角ABP=角ACP,过点P作PE垂直AB于E,PE垂直AC于F,点M,N分别为线段BC,EF的中点.求证MN垂直EF.
点P为三角形ABC内一点,使得角ABP=角ACP,过点P作PE垂直AB于E,PE垂直AC于F,点M,N分别为线段BC,EF的中点.求证MN垂直EF.
证明：连接ME、MF、BF、CE.
因为PE垂直于AB,PF垂直于AC
所以,角BEP=角CFP=90度
因为角ABP=角ACP
所以角BPE=角CPF
延长BP至Q,交AC于Q.
则,角BPE=角CPQ
所以,角CPF=角CPQ
所以,点F和点Q重合,即BF和BP重合,BF就是AC边上的高.
同理,CE就是AB边上的高.
所以三角形BEC和三角形BFC是直角三角形
因为,M为BC中点
所以ME=BC/2,MF=BC/2
所以ME=MF
在三角形MEF中,N是EF的中点,即MN是EF边上的中线
所以MN垂直于EF.
如图，在BA和CA线(或可能是延长线)上分别取G、H点，使GE=BE、 HF=CF。 连接EM、FM、BH、PH、PG、CG。 PE为BG的垂直平分线、PF为CH的垂直平分线，故PG=PB、 PH=PC; 则∠BPG=180°-2∠GBP、 ∠CPH=180°-2∠HCP,已知∠GBP=∠HCP，故∠BPG=∠CPH. 在△BPH和△GPC中：PB=PG、 PH=PC,∠BPH=∠BPG+∠GPH=∠CPH+∠GPH=∠GPC,所以△BPH≌△GPC，得HB=GC. 在△GBC中,EM为中位线，故EM=GC/2; 在△HBC中,FM为中位线，故FM=HB/2. 得EM=FM,则EMF为等腰三角形， MN为等腰三角形EMF底边EF上的中线，所以MN⊥EF。