以三角形 abc的边ab,ac为边分别向外做正方形acfg,连接EG.试判断三角形abc与三角形AEG面积之间的关系并说明理由.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/28 10:29:02
以三角形 abc的边ab,ac为边分别向外做正方形acfg,连接EG.试判断三角形abc与三角形AEG面积之间的关系并说明理由.
以三角形 abc的边ab,ac为边分别向外做正方形acfg,连接EG.试判断三角形abc与三角形AEG面积之间的关系
并说明理由.
以三角形 abc的边ab,ac为边分别向外做正方形acfg,连接EG.试判断三角形abc与三角形AEG面积之间的关系并说明理由.
S△ABC=S△AEG
证明：
作BM⊥AC于点M,EN⊥AG,交GA的延长线于点N
则∠EAN+∠BAN=∠MAB+∠BAN=90°
∴∠EAN=∠BAM
∵∠ENA=∠AMB=90°,AE=AB
∴△EAN≌△BAM
∴EN=BM
∵S△ABC=1/2*AC*BM,S△AEG=1/2*AG*EN,AC=AG,BM=EN
∴S△ABC=S△AEG
很简单，我们先设△ABC的三个顶点A,B,C所对的三边分别为a,b,c.
于是正方形ACFG的边长为b, 正方形ABDE的边长为c.
观察以A为顶点的4个角：∠BAC + ∠CAG + ∠EAG + ∠EAB = 360°
而∠CAG 与 ∠EAB 又分别在两个正方形中，所以它们两个是直角。
所以∠BAC + ∠EAG = 180°
sin∠EAG = si...
全部展开
很简单，我们先设△ABC的三个顶点A,B,C所对的三边分别为a,b,c.
于是正方形ACFG的边长为b, 正方形ABDE的边长为c.
观察以A为顶点的4个角：∠BAC + ∠CAG + ∠EAG + ∠EAB = 360°
而∠CAG 与 ∠EAB 又分别在两个正方形中，所以它们两个是直角。
所以∠BAC + ∠EAG = 180°
sin∠EAG = sin(180°-∠BAC)= sin∠BAC.
由三角形面积公式：S△=(1/2)acsinB＝(1/2)bcsinA＝(1/2)absinC
可以得到
S(△ABC)=(1/2)bc(sin∠BAC)
S(△AEG)=(1/2)bc(sin∠EAG)
由于sin∠EAG = sin∠BAC
所以S(△ABC)=S(△AEG)
收起