以RT三角形ABC的直角边AB为直径作圆O交BC于E,F是AC的中点,求证:EF是圆O的切线
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/23 03:40:05
以RT三角形ABC的直角边AB为直径作圆O交BC于E,F是AC的中点,求证:EF是圆O的切线
以RT三角形ABC的直角边AB为直径作圆O交BC于E,F是AC的中点,求证:EF是圆O的切线
以RT三角形ABC的直角边AB为直径作圆O交BC于E,F是AC的中点,求证:EF是圆O的切线
【证法1:】
连接AE,OE
∵AB是直径
∴∠AEB=90º
∴∠AFC=90º,且F为AC的中点,即EF是Rt⊿AEC的中线
∴EF=½AC=CF
∴∠C=∠FEC
∵OB=OE
∴∠B=∠OEF
∵∠B+∠C=90º【⊿ABC是直角三角形】
∴∠OEB+∠CEF=90º
∴∠OEF=90º
∴EF是圆O的切线
【证法2:】
连接AE,OE
∵AB是直径
∴∠AEB=90º
∴∠AFC=90º,且F为AC的中点,即EF是Rt⊿AEC的中线
∴EF=½AC=AF
又∵OA=OE,OF=OF
∴⊿OAF≌⊿OEF(SSS)
∴∠OEF=∠OAF=90º
∴EF是圆O的切线
我画了图,你对照图看看。∠FEA=∠EAE=∠ABE 说明∠OEF为直角就行了
以RT三角形ABC的直角边AB为直径作圆O交BC于E,F是AC的中点 就是等价于 AE⊥BC ,BAC为直角,连接EF,EO 要证明三角形AOE相似于三角形CFE 就可以证明 角FEO为直角 就是结论的相切
下面是相似 因为 RT三角形AEC∽RT三角形BEA 于是有AC/AB=CE/AE 以及角C=角BAE 那么就可以知道三角形AOE相似于三角形CFE ,结论得证...
全部展开
以RT三角形ABC的直角边AB为直径作圆O交BC于E,F是AC的中点 就是等价于 AE⊥BC ,BAC为直角,连接EF,EO 要证明三角形AOE相似于三角形CFE 就可以证明 角FEO为直角 就是结论的相切
下面是相似 因为 RT三角形AEC∽RT三角形BEA 于是有AC/AB=CE/AE 以及角C=角BAE 那么就可以知道三角形AOE相似于三角形CFE ,结论得证
收起
连结AE、OE,则在三角形ABC中,OF是中位线,则OF//BC,又角AEB=90°及AE⊥BC,则OF⊥AE,可以证明三角形FAO与三角形EFO全等,则角FEO是直角。