高中数列所有求通项公式方法、例如裂项法、错位相减法之类的!数列

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高中数列所有求通项公式方法、例如裂项法、错位相减法之类的!
数列

高中数列所有求通项公式方法、例如裂项法、错位相减法之类的!数列
裂项法和错位相减法一般是是求和的方法…… 求通项的话可以参考如下：（一）一阶常系数线性递推数列与待定系数法 a(n+1)=k*an+h （n∈N*,k,h为常数） 其中,当k=1,{an}为等差数列 特别的,k=1且h=0时,{an}为常数列 k不为0,且h=0时,{an}为等比数列 当k不为0或1,且h不为0时,可转化为等比数列：a(n+1)+h'=k*(an+h') 其中h'=h/(k-1) 变式1：a(n+1)=h*an^k （n∈N*,k,h为常数） 可令xn=ln(an) 则有x(n+1)=k*xn+h 转化成了一阶常系数线性递推数列.变式2：a(n+1)=k*an+f(n) （n∈N*,k为常数） 其中k=1时,a(n+1)=an+f(n) 此时称为等差型数列.当f(n)=d（d为常数）时,为等差数列.变式3：a(n+1)=f(n)*an^k （n∈N*,k为常数） 可令xn=ln(an) 则有x(n+1)=k*xn+ln(f(n)) 转化成了一阶常系数线性递推数列.其中k=1时,a(n+1)=f(n)*an 此时称为等比型数列.当f(n)=q（q为非零常数）时,为等比数列.（二）二阶常系数齐次线性递推数列与特征根法 递推式：a(n+2)=p*a(n+1)+q*an （n∈N*,p,q为常数） 1）待定系数法 a(n+2)=p*a(n+1)+q*an 可转化为等比数列：a(n+2)-α*a(n+1)=β*(a(n+1)-α*an) 和 a(n+2)-β*a(n+1)=α*(a(n+1)-β*an) 其中α+β=A α*β=-B 2）特征根法 a(n+2)=p*a(n+1)+q*an 其特征方程为x^2-p*x-q=0 i.若其有两个不相等的根（称作特征根）α、β 则an=A*α^n+B*β^n 其中常数A、B的值由初始值a1、a2的值确定.ii.若其有两个相等的根α 则an=(A*n+B)*α^n 其中常数A、B的值由初始值a1、a2的值确定.最终可得：当{an}有两个不等的特征根为根α,β时 an=((a2-β*a1)/(α-β))*α^(n-1)-((a2-β*a1)/(α-β))*β^(n-1) 当特征根为重根α时 an=((a2-a1*α)*n+2*a1*α-a2)*α^(n-2) 变式1 递推式：a(n+2)=a(n+1)^p*an^q （n∈N*,p,q为常数） 可令xn=ln(an) 则有x(n+2)=p*x(n+1)+q*xn 转化成了二阶常系数齐次线性递推数列.变式2 递推式：a(n+2)=(a(n+1)^2+k*c^n)/an （n∈N*,c,k为常数） 变式3：双数列 变式4 递推式：a(n+2)=p*a(n+1)+q*an+f(n) （n∈N*,p,q为常数） （三）分式常系数线性递推数列与不动点法 递推式：a(n+1)=(A*an+B)/(C*an+D) （n∈N*,A,B,C,D为常数,C不为0,AD-BC不为0,a1与a2不等） 其特征方程为x=(A*x+B)/(C*x+D) 特征方程的根称为该数列的不动点 这类递推式可转化为等差数列或等比数列 1）若x=(A*x+B)/(C*x+B)有两个不等的根α、β,则有：(a(n+1)-α)/(a(n+1)-β)=k*((an-α)/(an-β)) 其中k=(A-α*C)/(A-β*C) x=(A*x+B)/(C*x+D) C*x^2+(D-A)*x-B=0 α不等于β (D-A)^2+4*B*C不等于0 C*α^2+(D-A)*α-B=0 C*α^2-A*α=B-α*D a(n+1)-α=(A*an+B-C*α*an-α*D)/(C*an+D)=(A*an-C*α*an+C*α^2-A*α)/(C*an+D)=(A-C*α)*(an-α)/(C*an+D) a(n+1)-β=(A*an+B-C*β*an-β*D)/(C*an+D)=(A*an-C*β*an+C*β^2-A*β)/(C*an+D)=(A-C*β)*(an-β)/(C*an+D) (a(n+1)-α)/(a(n+1)-β)=(A-α*C)/(A-β*C)*((an-α)/(an-β)) 由 (an-α)/(an-β)=((A-α*C)/(A-β*C))^(n-1)*((a1-α)/(a1-β)) 得 an=(β*(((A-α*C)/(A-β*C))^(n-1))*((a1-α)/(a1-β))-α)/(((((A-α*C)/(A-β*C))^(n-1))*((a1-α)/(a1-β))-1) 2）若x=(A*x+B)/(C*x+B)有重根α,则有 1/(a(n+1)-α)=1/(an-α)+k 其中k=(2*C)/(A+D) x=(A*x+B)/(C*x+D) C*x^2+(D-A)*x-B=0 C*α^2+(D-A)*α-B=0 α=(A-D)/(2*C) a(n+1)-α=(A-C*α)*(an-α)/(C*an+D) 1/(a(n+1)-α)=((C*an+D)/(A-C*α))*(1/(an-α)) =1/(an-α)+(C*an+D-A+((A-D)/(2*C))*C)/((A-(A-D)/(2*C)*C)*(an-(A-D)/(2*C)))=1/(an-α)+(C*an+C*(D-A)/(2*C))/(((A+D)/2)*(an+(D-A)/(2*C))) =1/(an-α)+(2*C)/(A+D) 由 1/(an-α)=(2*C*(n-1))/(A+D)+1/(a1-α) an=1/((2*C*(n-1))/(A+D)+1/(a1-α))+α 变式 递推式：a(n+1)=(an^2+P)/(2*an+Q) （n∈N*,P,Q为常数） 其特征方程为x=(x^2+P)/(2*x+Q) 1）若其有两个不等根α、β,即Q^2+4*P不等于0 则有：(a(n+1)-α)/(a(n+1)-β)=((an-α)/(an-β))^2 令xn=ln((an-α)/(an-β)) 则有：x(n+1)=2*xn 转化为了等比数列.ln((a(n+1)-α)/(a(n+1)-β))=2*ln((an-α)/(an-β)) an=(β*((a1-α)/(a1-β))^(2^(n-1))-α)/(((a1-α)/(a1-β))^(2^(n-1))-1) 2）若其有重根α,即Q^2+4*P=0 则有：an=(a1-α)/(2^(n-1))+α