常用数列求和公式及其推导要全面,常见的就可以了不对,还差很多,也不需要打这些推倒也没有我说的是类型,你说的是基本比如说数列f(n)=1+(1+2)+...+(1+2+3+.+n)的求法及其过程我不是说这一个,高
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 15:13:29
常用数列求和公式及其推导要全面,常见的就可以了不对,还差很多,也不需要打这些推倒也没有我说的是类型,你说的是基本比如说数列f(n)=1+(1+2)+...+(1+2+3+.+n)的求法及其过程我不是说这一个,高
常用数列求和公式及其推导
要全面,常见的就可以了
不对,还差很多,也不需要打这些
推倒也没有
我说的是类型,你说的是基本
比如说数列f(n)=1+(1+2)+...+(1+2+3+.+n)的求法及其过程
我不是说这一个,高中能接触到的,大概7,8个,打清楚些,
常用数列求和公式及其推导要全面,常见的就可以了不对,还差很多,也不需要打这些推倒也没有我说的是类型,你说的是基本比如说数列f(n)=1+(1+2)+...+(1+2+3+.+n)的求法及其过程我不是说这一个,高
请看这篇文章
里有详细介绍,等差,等比,很熟悉就不介绍了,这里介绍了一些新的求证方法
计算∑[∑[i,{i,1,j}],{j,1,n}],
即(1)+(1+2)+(1+2+3)+...+(1+2+3+...+n),
这是别人的一种算法:
1+(1+2)+(1+2+3)+.+(1+2+3+.+n)
=[1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)]/2
=[1*2*3+2*3*3+3*4*3+.+n(n+1)*3]/(2*3)
={1*2*3+2*3*(4-1)+3*4*(5-2)+...+n(n+1)*[(n+2)-(n-1)]}/6
=[1*2*3+2*3*4-1*2*3+3*4*5-2*3*4+.+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/6
=n(n+1)(n+2)/6 .
下面是我的想法,如图所示,每个正方形边长为1,相当于求该图形的层数为n时的体积v[n],当层数n增加时,在三维直角坐标系下,长宽高与n成正比增加,于是体积v[n]应该是n的三次函数,
于是设对于任意的n有v[n]=a*n^3+b*n^2+c*n+d,
代入n=1,2,3,4得
1=a+b+c+d,
4=8a+4b+2c+d,
10=27a+9b+3c+d,
20=64a+16b+4c+d,
解得a = 1/6,b = 1/2,c = 1/3,d = 0,
于是
(1)+(1+2)+(1+2+3)+...+(1+2+3+...+n)
=n^3/6+n^2/2+n/3
=1/6 n (1 + n) (2 + n)
类似的办法计算:
1^2+2^2+3^2+...+n^2,相当于计算下面图形的体积,
设对于任意的n有v[n]=a*n^3+b*n^2+c*n+d,
代入n=1,2,3,4得
1=a+b+c+d,
5=8a+4b+2c+d,
14=27a+9b+3c+d,
30=64a+16b+4c+d,
解得a = 1/3,b = 1/2,c = 1/6,d = 0,
于是
1^2+2^2+3^2+...+n^2
=n^3/3 + n^2/2 + n/6
=1/6 n (1 + n) (1 + 2 n)
类似的办法计算:
1^2+3^2+5^2+...+(2n-1)^2,相当于计算下面图形的体积,
设对于任意的n有v[n]=a*n^3+b*n^2+c*n+d,
代入n=1,2,3,4得
1=a+b+c+d,
10=8a+4b+2c+d,
35=27a+9b+3c+d,
84=64a+16b+4c+d,
解得a = 4/3,b = 0,c = -1/3,d = 0,
于是
1^2+3^2+5^2+...+n^2
=4/3*n^3 - n/3
=1/3 n (2 n - 1) (2 n + 1)
当然这样得到的结果都是正确的,但是要证明它的正确性还需要用数学归纳法,或者其它办法.