证明30阶群必非单群（要详细的证明） 还有类似的,p,q素数,q*p^2阶群也不是单群

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 21:56:11
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30阶群:
由Sylow定理,该群有1个或6个Sylow 5-子群.若只有1个,则为正规子群,该群不为单群.
若有6个,这6个子群共含有6·(5-1) = 24个5阶元.
再考虑Sylow 3-子群,个数可能为1,3,10.
若有不少于3个,则至少有3·(3-1) = 6个3阶元.
单位元+5阶元+3阶元个数 > 30,矛盾.
故只能有1个3阶子群,为正规子群,该群不为单群.
p²q阶群:
若p = q,p-群有非平凡的中心,故不为单群.
若p > q,则Sylow p-子群只能有1个 (p不整除q-1),为正规子群,该群不为单群.
若q > p,除去q = 3,p = 2以外,有q > p+1.则q不整除p-1,也不整除p²-1 = (p+1)(p-1).
于是Sylow q-子群只能有1个,为正规子群,该群不为单群.
最后讨论p = 2,q = 3的情况.
考虑Sylow 3-子群,有1个或4个.
若只有1个则为正规子群,该群不为单群.
若有4个,则共有3阶元4·(3-1) = 8个,剩下12-8 = 4个元素.
于是只能有1个Sylow 2-子群,该群不为单群.

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