曲线方程题过定点M(2,1)作两条互相垂直的射线交圆O:X^2+Y^2=9于A,B两点,求AB中点P的轨迹方程 (要有过程)
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/11 03:14:33
曲线方程题过定点M(2,1)作两条互相垂直的射线交圆O:X^2+Y^2=9于A,B两点,求AB中点P的轨迹方程 (要有过程)
曲线方程题
过定点M(2,1)作两条互相垂直的射线交圆O:X^2+Y^2=9于A,B两点,求AB中点P的轨迹方程 (要有过程)
曲线方程题过定点M(2,1)作两条互相垂直的射线交圆O:X^2+Y^2=9于A,B两点,求AB中点P的轨迹方程 (要有过程)
设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),{1,2,0是下脚标},因为是两条垂直的射线,所以两直线MB,MA的斜率乘积是-1,得(1-y2)/(2-x2) *(1-y1)/(2-x1)=-1 第一式,整理得-（y1+y2）+y1y2=-5+2(x1+x2)-x1x2第二式,因为A.B是圆上的点,所以x1^2+y1^2=9,x2^2+y2^2=9,把两式相加得x1^2+x2^2+y1^2+y2^2=18,所以（x1+x2）^2-2x1x2+(y1+y2)^2-2y1y2=18第三式,因为P是中点,根据中点坐标公式,得x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,把这两个分别代入到第二式和第三式中,最后得到一个关于x0和y0的方程,4x0^2+4y0^2-8x0-4y0+10=18,整理到最后是（x-1）^2+(y-0.5)^2=13/4,这个就是p的轨迹方程
设坐标P(x,y) ;A(xA,yA) ;B(xB,yB) 则有2x=xA+xB 2y=yA+yB
在圆中可知BP^2=9-(x^2+y^2)
AB^2=(xA-xB)^2+(yA-yB)^2=4BP^2=4(9-x^2-y^2) ……1式
在直角三角行ABM中AB^2=AM^2+BM^2=(xA-2)^2+(yA-1)^2+(xB-2)^2+(yB-1)^2
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设坐标P(x,y) ;A(xA,yA) ;B(xB,yB) 则有2x=xA+xB 2y=yA+yB
在圆中可知BP^2=9-(x^2+y^2)
AB^2=(xA-xB)^2+(yA-yB)^2=4BP^2=4(9-x^2-y^2) ……1式
在直角三角行ABM中AB^2=AM^2+BM^2=(xA-2)^2+(yA-1)^2+(xB-2)^2+(yB-1)^2
展开把xA^2+yA^2=9 ;xB^2+yB^2=9 （因为A ,B在圆上） 代入得
AB^2=20-4（xA+xB）-2（yA+yB）=20-8x-4y……2式
由1式=2式 得
（x-1）^2+（y-1/2）^2=21/4(此为P点的轨迹方程)
希望你看的懂！！！
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