△ABC中,AD,BE,CF是它的三条高请你应用勾股定理说明BD²+CE²+AF²=DC²+AE²+BF²

△ABC中,AD,BE,CF是它的三条高请你应用勾股定理说明BD²+CE²+AF²=DC²+AE²+BF²
△ABC中,AD,BE,CF是它的三条高请你应用勾股定理说明
BD²+CE²+AF²=DC²+AE²+BF²

△ABC中,AD,BE,CF是它的三条高请你应用勾股定理说明BD²+CE²+AF²=DC²+AE²+BF²



如题,∵,AD,BE,CF是△ABC中的三条高
∴⊿ABD、⊿ADC、⊿CAF、⊿CBF、⊿BAE、⊿BCE均为Rt⊿.

∴BD²＋AD²=AB²=BE²+AE²
CE²+BE²=BC²=BF²+FC²
AF²+FC²=AC²=AD²+DC²

∴BD²＋AD²+CE²+BE²+AF²+FC²=BE²+AE²+BF²+FC²+AD²+DC²

即BD²+CE²+AF²=DC²+AE²+BF²

设三条高的交点为H,有勾股定理得AE^2=AH^2-HE^2，CD^2=CH^2-HD^2，BF^2=BH^2-HF^2
所以DC²+AE²+BF²=AH^2-HE^2+CH^2-HD^2+BH^2-HF^2
=AH^2-HF^2+CH^2-HE^2+BH^2-HD^2
...

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设三条高的交点为H,有勾股定理得AE^2=AH^2-HE^2，CD^2=CH^2-HD^2，BF^2=BH^2-HF^2
所以DC²+AE²+BF²=AH^2-HE^2+CH^2-HD^2+BH^2-HF^2
=AH^2-HF^2+CH^2-HE^2+BH^2-HD^2
=AF^2+CE^2+BD^2
因此 DC²+AE²+BF² =BD²+CE²+AF²

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画图后，根据勾股定理可得：
（由于平方不好打，就以AB代替AB的平方，其余的都表示平方）
BD+AD=AB=BE+AE
CE+BE=BC=CF+BF
AF+CF=AC=AD+DC
将三个等式相加可得：
BD+CE+AF+AD+BE+CF=BE+CF+AD+AE+BF+DC
消去相同项：AD+BE+CF
就可得要证明的等式。

六个直角三角形

设三角形ABC的三条高交点为O，（自己画图看）
则左边
BD的平方=BO的平方-OD的平方
CE的平方=OC的平方-OE的平方
AF的平方=OA的平方-OF的平方
右边
DC的平方=OC的平方-OD的平方
AE的平方=OA的平方 -OE的平方
BF 的平方=OB 的平方-OF 的平方
左右两边比较知，等式成立。...

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设三角形ABC的三条高交点为O，（自己画图看）
则左边
BD的平方=BO的平方-OD的平方
CE的平方=OC的平方-OE的平方
AF的平方=OA的平方-OF的平方
右边
DC的平方=OC的平方-OD的平方
AE的平方=OA的平方 -OE的平方
BF 的平方=OB 的平方-OF 的平方
左右两边比较知，等式成立。

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∵AD,BE,CF是它的三条高
∴BD²+AD²=AB²，CD²+AD²=AC²
CE²+BE²=BC²，AE²+BE²=AB²
AF²+CF²=AC²，BF²+CF²=BC²

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∵AD,BE,CF是它的三条高
∴BD²+AD²=AB²，CD²+AD²=AC²
CE²+BE²=BC²，AE²+BE²=AB²
AF²+CF²=AC²，BF²+CF²=BC²
∴BD²+AD²+CE²+BE²+AF²+CF²=AB²+BC²+AC²
CD²+AD²+AE²+BE²+BF²+CF²=AB²+BC²+AC²
∴BD²+CE²+AF²=(AB²+BC²+AC²)-(AD²+BE²+CF²)
DC²+AE²+BF²=(AB²+BC²+AC²)-(AD²+BE²+CF²)
∴BD²+CE²+AF²=DC²+AE²+BF²

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证明：∵AD,BE,CF是△ABC的三条高
∴AB²－AC²＝﹙BD²＋AD²﹚－﹙CD²＋AD²﹚＝BD²－CD² ①
CA²－CB²＝AF²－BF² ②
BC²－BA&#...

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证明：∵AD,BE,CF是△ABC的三条高
∴AB²－AC²＝﹙BD²＋AD²﹚－﹙CD²＋AD²﹚＝BD²－CD² ①
CA²－CB²＝AF²－BF² ②
BC²－BA²＝CE²－AE² ③
①＋②＋③得0＝BD²－CD²＋AF²－BF²＋CE²－AE²
∴BD²+CE²+AF²=DC²+AE²+BF²

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