三角形ABC中,角ABC等于二倍的角C,AD垂直于CB于D,求证 AB+BD=DC
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/28 00:21:09
三角形ABC中,角ABC等于二倍的角C,AD垂直于CB于D,求证 AB+BD=DC
三角形ABC中,角ABC等于二倍的角C,AD垂直于CB于D,求证 AB+BD=DC
三角形ABC中,角ABC等于二倍的角C,AD垂直于CB于D,求证 AB+BD=DC
在CD上取一点E,使BD＝ED,这时A在BE的中垂线上,∴AB＝AE,得：∠B＝∠AED,
又∠B＝2∠C,∴∠AED＝2∠C,由三角形外角定理,有：∠EAC＝∠C,∴AE＝EC.
由AB＝AE,BD＝ED,得：AB＋BD＝AE＋ED,结合AE＝EC,得：AB＋BD＝EC＋ED＝DC.
即：AB＋BD＝DC.
在DC上选点E,作∠DEA=∠DBA,∴AB=AE,∴⊿ABE是等腰三角形，AD⊥BC,
∴BD=DE
∵∠DCA=∠CAE=1／2∠AED
∴AE=EC=AB
∴AB＋BD=EC＋DE=DC
在CD上取点E使DE=BD
由于AD垂直平分BE可得ABE为等腰三角形，故AB=AE,∠B=∠AED=2∠C
∵∠AED=∠C+∠EAC=2∠C
∴∠EAC=∠C故AE=EC=AB
故AB+BD=DE+EC=CD
AB/AD= 1 / sin∠B
BD/AD= 1 / tan∠B
DC/AD= 1 / tan∠C
要证：AB+BD=DC
即·证 1 / sin∠B + 1 / tan∠B= 1 / tan∠C
左边=（1+cos∠B) / sin∠B
=(1+2cos²∠C-1) / 2 sin∠C cos∠C
...
全部展开
AB/AD= 1 / sin∠B
BD/AD= 1 / tan∠B
DC/AD= 1 / tan∠C
要证：AB+BD=DC
即·证 1 / sin∠B + 1 / tan∠B= 1 / tan∠C
左边=（1+cos∠B) / sin∠B
=(1+2cos²∠C-1) / 2 sin∠C cos∠C
=1 / tan∠C
=右边
所以，等式成立。
类似这类题目··其实用倒推法就可以···
收起
在DC上截取一点E，使DE=BD，并连接AE。
∵AD⊥BC
∴∠ADB=∠ADC
在△ABD与△ADE中
BD=DE；∠ADB=∠ADE；AD=AD
∴△ABD≌△ADE
∴AB=AE,∠B=∠AED
∵∠B=2∠C
∴∠AED=2∠C
∵∠AED=∠C+∠EAC
∴∠C=∠EAC
∴AE=CE
∵A...
全部展开
在DC上截取一点E，使DE=BD，并连接AE。
∵AD⊥BC
∴∠ADB=∠ADC
在△ABD与△ADE中
BD=DE；∠ADB=∠ADE；AD=AD
∴△ABD≌△ADE
∴AB=AE,∠B=∠AED
∵∠B=2∠C
∴∠AED=2∠C
∵∠AED=∠C+∠EAC
∴∠C=∠EAC
∴AE=CE
∵AB=AE
∴AB=CE
又∵BD=DE
∴CD=CE=DE
即AB+BD=DC
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