已知a,b,c,d是不全相等的正数,求证:bc(b+c)+ca(c+a)+ab(a+b)>6abc

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/24 00:26:00
已知a,b,c,d是不全相等的正数,求证:bc(b+c)+ca(c+a)+ab(a+b)>6abc已知a,b,c,d是不全相等的正数,求证:bc(b+c)+ca(c+a)+ab(a+b)>6abc已知

已知a,b,c,d是不全相等的正数,求证:bc(b+c)+ca(c+a)+ab(a+b)>6abc
已知a,b,c,d是不全相等的正数,求证:bc(b+c)+ca(c+a)+ab(a+b)>6abc

已知a,b,c,d是不全相等的正数,求证:bc(b+c)+ca(c+a)+ab(a+b)>6abc
证明:
bc(b+c)+ca(c+a)+ab(a+b)
=cb^2+bc^2+ac^2+ca^2+ba^2+ab^2
=a(b^2+c^2)+b(a^2+c^2)+c(a^2+b^2)【括号中用均值不等式,不可能取等号】
>a(2bc)+b(2ac)+c(2ab)
=2abc+2abc+2abc
=6abc
证毕!

可以取等号,证ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)≥6abc
ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)-6abc =a(b^2+c^2-2bc)+b(c^2+a^2-2ca)+c(a^2+b^2-2ab)
=a(b-c)^2+b(c-a)^2+c(a-b)^2 ≥0