求证：函数f（x)=ax^2+bx+c满足f（-x）=f（x）的充要条件是b=0
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 23:29:30
求证：函数f（x)=ax^2+bx+c满足f（-x）=f（x）的充要条件是b=0
求证：函数f（x)=ax^2+bx+c满足f（-x）=f（x）的充要条件是b=0
求证：函数f（x)=ax^2+bx+c满足f（-x）=f（x）的充要条件是b=0
先证充分性：因为f（x)=ax^2+bx+c满足f（-x）=f（x）
所以ax^2+bx+c=ax^2+b（-x）+c
则2bx=0 因为x取任意实数
所以b=0
再证必要性：因为b=0
所以f（x)=ax^2+bx+c=ax^2+c
则 此时f（x)是偶函数,关于y轴对称
所以f（-x）=f（x）
故函数f（x)=ax^2+bx+c满足f（-x）=f（x）的充要条件是b=0
若是偶函数则f(x)-f(-x)=0
所以(ax^2+bx+c)-[a(-x)^2+b(-x)+c]=0
ax^2+bx+c-ax^2+bx-c=0
2bx=0
所以b=0
若b=0
则f(x)=ax^2+c
定义域R关于原点对称
f(-x)=a(-x)^2+c=ax^2+c=f(x)
所以f(x)是偶函数
所以充要条件是b=0
(1)先证明其充分性：
由f(-x）=f(x)得：
ax^2-bx+c=ax^2+bx+c
∴2bx=0
由于是对于任意x都有f(-x)=f(x),
所以b=0.
(2)证明其必要性：
将b=0带入f(x)得：
f(x)=ax^2+c
又∵f(-x)=a(-x)^2+c=ax^2+c
∴f(-...
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(1)先证明其充分性：
由f(-x）=f(x)得：
ax^2-bx+c=ax^2+bx+c
∴2bx=0
由于是对于任意x都有f(-x)=f(x),
所以b=0.
(2)证明其必要性：
将b=0带入f(x)得：
f(x)=ax^2+c
又∵f(-x)=a(-x)^2+c=ax^2+c
∴f(-x)=f(x)
综上：函数f（x)=ax^2+bx+c满足f（-x）=f（x）的充要条件是b=0
收起
若是偶函数则f(x)-f(-x)=0
所以(ax^2+bx+c)-[a(-x)^2+b(-x)+c]=0
ax^2+bx+c-ax^2+bx-c=0
2bx=0
所以b=0
若b=0
则f(x)=ax^2+c
定义域R关于原点对称
f(-x)=a(-x)^2+c=ax^2+c=f(x)
所以是
所以充要条件是b=0
知道了米