已知,如图,在平面直角坐标系中,点A坐标为（-2,0）,点B坐标为（0,2）,点E为线段AB上的动点（点E不与点A,B重合）,以E为顶点作∠OET=45°,射线ET交线段0B于点F,C为y轴正半轴上一点,且OC=AB,抛物线y=-2
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 23:43:08
已知,如图,在平面直角坐标系中,点A坐标为（-2,0）,点B坐标为（0,2）,点E为线段AB上的动点（点E不与点A,B重合）,以E为顶点作∠OET=45°,射线ET交线段0B于点F,C为y轴正半轴上一点,且OC=AB,抛物线y=-2
已知,如图,在平面直角坐标系中,点A坐标为（-2,0）,点B坐标为（0,2）,点E为线段AB上的动点（点E不与点A,B重合）,以E为顶点作∠OET=45°,射线ET交线段0B于点F,C为y轴正半轴上一点,且OC=AB,抛物线y=-
2
x2+mx+n的图象经过A,C两点．
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）求证：∠BEF=∠AOE；
（3）当△EOF为等腰三角形时,求此时点E的坐标；
（4）在（3）的条件下,当直线EF交x轴于点D,P为（1）中抛物线上一动点,直线PE交x轴于点G,在直线EF上方的抛物线上是否存在一点P,使得△EPF的面积是△EDG面积的（2
2
+1）倍?若存在,请直接写出点P的坐标；若不存在,请说明理由．
重点是第四问,还要说下原因.
已知,如图,在平面直角坐标系中,点A坐标为（-2,0）,点B坐标为（0,2）,点E为线段AB上的动点（点E不与点A,B重合）,以E为顶点作∠OET=45°,射线ET交线段0B于点F,C为y轴正半轴上一点,且OC=AB,抛物线y=-2
(1)
OC = AB = √[(-2 - 0)² + (0 - 2)²] = 2√2
C(2√2, 0)
抛物线过A(-2, 0), C(2√2, 0), 可表达为y = -(x + 2)(x - 2√2) = -x² - 2(1- √2)x + 4√2
(2)
AO =OB, ∠OAE = 45˚
∠BEF = 180˚ - ∠OEF - ∠AEO = 180˚ - 45˚ - ∠AEO = 135˚ - ∠AEO (180˚: 平角)
∠AOE = 180˚ - ∠OAE - ∠AEO = 180˚ - 45˚ - ∠AEO = 135˚ - ∠AEO (180˚: ∆AOE内角和)
∠BEF = ∠AOE
(3)
AB的方程: x/(-2) + y/2 = 1, y = 2 + x
△EOF为等腰三角形时, 显然∠EOF不可能为90˚, 有两种可能：EF = EO或FE = FO
(i) EF = EO
∠OEF的平分线与OF垂直,而且平分OF, 此时平分线与x轴平行, OE, EF的斜率显然互为相反数
设E(e, 2 + e), 则F(0, 4 + 2e), -2 < e < 0
OE的斜率p = tan(45°/2) = sin45°/(1 + cos45°) = √2 - 1
EF的斜率q = -q = 1 - √2
OE的方程: y = (1 - √2)x
E(-√2, √2)
(ii)FE = FO
∠OEF = ∠FOE = 45°, EF与OF垂直
OE的斜率 = tan(90° + 45°) = -1
OE的方程: y = -x
与AB的交点为E(-1, 1)
(4)
(3)中的(ii)的结果EF与x轴平行, 这里不考虑.
E(-√2, √2), F(0, 2√2)
EF的方程: y = (√2 - 1)x + 2√2
y = 0, x = -2(√2 + 2), D(-2(√2 + 2), 0)
是△EDG面积的（2
2
+1）倍? 这是什么?