已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（3）=0,且周期T=4,则方程f（x）=0在X属于区间[0,10]上的根有_____个
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 14:09:37
已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（3）=0,且周期T=4,则方程f（x）=0在X属于区间[0,10]上的根有_____个
已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（3）=0,且周期T=4,则方程f（x）=0在X属于区间[0,10]上的根有_____个
已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（3）=0,且周期T=4,则方程f（x）=0在X属于区间[0,10]上的根有_____个
周期为4,则:
f(3)=f(7)=f(-1)=f(-5)=f(-9)=0
f(x)为奇函数,则
f(1)=-f(-1)=0
f(5)=-f(-5)=0
f(9)=-f(-9)=0
所以共有1,3,5,7,9共5个根
因为周期为4，且f(3)=0,所以f(7)=f(3)=0,所以x1=3,x2=7;
又因为是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0，
所以f(4)=f(8)=f(0)=0,所以x3=0,x4=4,x5=8;
又f(1)=f(-3)=-f(3)=0,
所以f(1)=f(5)=f(9)=0，所以x6=1,x7=5,x8=9
又因为f(-2)=f(2)=-f(2),...
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因为周期为4，且f(3)=0,所以f(7)=f(3)=0,所以x1=3,x2=7;
又因为是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0，
所以f(4)=f(8)=f(0)=0,所以x3=0,x4=4,x5=8;
又f(1)=f(-3)=-f(3)=0,
所以f(1)=f(5)=f(9)=0，所以x6=1,x7=5,x8=9
又因为f(-2)=f(2)=-f(2),所以f(2)=0,
所以f(2)=f(6)=f(10)=0,所以x9=2,x10=6,x11=10.
综上，共有0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10共11个根。
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奇函数，在x=0有定义的话，必有f（0）=0
并且f（3）=0，T=4，那么f（3+4）=f（7）=0
f（3-4）=f（-1）=0 奇函数f（-x）=-f（x）即f（-1）=-f（1）=0 f（1）=0
据此，可得f（1+4）=f（5）=0 f（5+4）=f（9）=0
即在[0，10]有x=0,1,3，5，7，9满足条件
PS还可以通过画图来做...
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奇函数，在x=0有定义的话，必有f（0）=0
并且f（3）=0，T=4，那么f（3+4）=f（7）=0
f（3-4）=f（-1）=0 奇函数f（-x）=-f（x）即f（-1）=-f（1）=0 f（1）=0
据此，可得f（1+4）=f（5）=0 f（5+4）=f（9）=0
即在[0，10]有x=0,1,3，5，7，9满足条件
PS还可以通过画图来做本题
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0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10共11个