1.k是奇数,求证:不存在整数x,y满足方程x^2-y^2=2k
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2025/01/11 23:10:12
1.k是奇数,求证:不存在整数x,y满足方程x^2-y^2=2k
1.k是奇数,求证:不存在整数x,y满足方程x^2-y^2=2k
1.k是奇数,求证:不存在整数x,y满足方程x^2-y^2=2k
2k是偶数
则左边(x+y)(x-y)是偶数
若x和y是一奇一偶
则x+y和x-y都是奇数,显然不成立
所以x和y奇偶性相同
所以x+y和x-y都是偶数
所以左边是2×2=4的倍数
而k是奇数则2k÷4=k/2不是整数
即不是4的倍数
所以等式不成立
命题得证
x^2-y^2=(X+y)(x-y)
当x、y同时为奇数或同时为偶数时,x+y与x-y都为偶数,则它们的积是4的倍数,而k是奇数,所以2k不是4的倍数,因此不成立
当x与y一个是奇数,一个是偶数时,x+y与x-y都为奇数数,则它们的积也是奇数,而2k是偶数,所以也不成立
综上可见k是奇数,不存在整数x,y满足方程x^2-y^2=2k...
全部展开
x^2-y^2=(X+y)(x-y)
当x、y同时为奇数或同时为偶数时,x+y与x-y都为偶数,则它们的积是4的倍数,而k是奇数,所以2k不是4的倍数,因此不成立
当x与y一个是奇数,一个是偶数时,x+y与x-y都为奇数数,则它们的积也是奇数,而2k是偶数,所以也不成立
综上可见k是奇数,不存在整数x,y满足方程x^2-y^2=2k
收起
x^2-y^2=2k
(x+y)(x-y)=2k
因为x+y x-y同奇同偶,所以x y同奇同偶
设xy都是偶数
x^2-y^2=4的倍数
xy都是奇数
x^2-y^2=8的倍数
所以不存在整数x,y满足方程x^2-y^2=2k
我省略不少简单内容,自己补吧
设x=2k1+1,y=2k2+1
则x^2-y^2=2×2(k1+k2+1)﹙k1-k2﹚为偶数的两倍
设x=2k1+1,y=2k2
则x^2-y^2=(2k1+2k2+1)﹙2k1-2k2+1﹚为奇数
所以原式不成立,不可能为奇数的两倍