已知抛物线y=X平方-1上一定点B(-1,0)与两动点P,Q,当BP垂直PQ时,点Q的横坐标取值范围要点Q的取值范围
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/27 22:20:25
已知抛物线y=X平方-1上一定点B(-1,0)与两动点P,Q,当BP垂直PQ时,点Q的横坐标取值范围要点Q的取值范围
已知抛物线y=X平方-1上一定点B(-1,0)与两动点P,Q,当BP垂直PQ时,点Q的横坐标取值范围
要点Q的取值范围
已知抛物线y=X平方-1上一定点B(-1,0)与两动点P,Q,当BP垂直PQ时,点Q的横坐标取值范围要点Q的取值范围
设直线BP方程为y=k(x+1),与抛物线方程y=x²-1联立：
y=k(x+1)=x²-1=(x-1)(x+1),约去(x+1),得到点P横坐标Xp=1+k,
代入y=x²-1,得到点P纵坐标Yp=(k+1)²-1
由于BP⊥PQ,所以PQ方程可以写成：y-(k+1)²+1=(-1/k)[x-(k+1)]
与y=x²-1联立消去y:x²-(k+1)²=(-1/k)[x-(k+1)],约去[x-(k+1)],
解得点Q横坐标Xq=-k-1/k-1
首先,当k=-2时,Xp=1+k=-1,点P和点B重合,即直线BP成为抛物线的切线,所以k≠-2,Xq=-k-1/k-1≠3/2
然后,当k>0时,Xq=-k-1/k-1=-(k+1/k)-1≤-2-1=-3;
当k
抛物线方程可以写成：y=(x-2)^2+h-4
顶点只可能在直线x=2上，又因为顶点落在直线y=-4x-1上，所以y=-8-1=-9
所以顶点坐标为(2,-9)
设P（t，t^2-1），Q（s，s^2-1）
∵BP⊥PQ，
∴（t^2-1 /t+1）•（（(s^2-1)-(t^2-1)）/s-t）= -1，
即t^2+（s-1）t - s+1=0
∵t∈R，P，Q是抛物线上两个不同的点
∴必须有△=（s-1）^2+4（s-1）≥0．
即s2+2s-3≥0，
解得s≤-3或s≥1．
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设P（t，t^2-1），Q（s，s^2-1）
∵BP⊥PQ，
∴（t^2-1 /t+1）•（（(s^2-1)-(t^2-1)）/s-t）= -1，
即t^2+（s-1）t - s+1=0
∵t∈R，P，Q是抛物线上两个不同的点
∴必须有△=（s-1）^2+4（s-1）≥0．
即s2+2s-3≥0，
解得s≤-3或s≥1．
∴Q点的横坐标的取值范围是 （-∞，-3]∪[1，+∞）
故答案为：（-∞，-3]∪[1，+∞）
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y=x^2-1上一定点B(-1,0)与两动点P，Q
BP:y=k(x+1)
y=x^2-1=k(x+1)
x^2-kx-1-k=0
△=(-k)^2-4(-1-k)=(k+2)^2≥0,k=-2,BP与抛物线y=x^2-1相切.
xB=-1
xP=1+k
BP⊥PQ时,设P(xP,xP^2-1),Q(xQ,xQ^2-1)
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y=x^2-1上一定点B(-1,0)与两动点P，Q
BP:y=k(x+1)
y=x^2-1=k(x+1)
x^2-kx-1-k=0
△=(-k)^2-4(-1-k)=(k+2)^2≥0,k=-2,BP与抛物线y=x^2-1相切.
xB=-1
xP=1+k
BP⊥PQ时,设P(xP,xP^2-1),Q(xQ,xQ^2-1)
k(BP)*k(PK)=-1
k*(yP-yQ)/(xP-xQ)=-1
k[(xP^2-1)-(xQ^2-1)Q)]/(xP-xQ)]=-1
k*(xP+xQ)*(xP-xQ)/(xP-xQ)=-1
k*(xP+xQ)=-1
k*(1+k+xQ)=-1
xQ=-1-(k+1/k), |k|+|1/k|≥2
△=0,k=-2,xQ=1.5,这时B,P两点重合.yQ=1.25 ,即k=-2,是抛物线过点B的切线.
△≠0
(1)k<0,k=-1,xQ最小=1,点Q的横坐标取值范围[1,1.5),即1≤xQ<1.5
(2)k>0,k=-1,xQ最大=-3
设点B的切线为L,BP⊥L,交抛物线点P,则点P的坐标为P(1.5,1.25)
k(BP)=1/2=0.5
PQ⊥BP,交抛物线点Q,k(PQ)=-2
直线PQ:y-1.25=-2*(x-1.5),y=4.25-2x
由4.25-2x=x^2-1,得
xQ=-3.5
答:点Q的横坐标取值范围
(1)[1,1.5),即1≤xQ<1.5
(2)(-3.5,-3],即-3.5
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