若数列{an}是等差数列,且对任意正整数n都有Sn3=（Sn)^3成立,求数列{an}的通项公式.已知无穷数列{an}的各项均为正整数,Sn数列的前n项和.（1）若数列{an}是等差数列,且对任意正整数n都有S(n^3)=（Sn
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/08 16:53:46
若数列{an}是等差数列,且对任意正整数n都有Sn3=（Sn)^3成立,求数列{an}的通项公式.已知无穷数列{an}的各项均为正整数,Sn数列的前n项和.（1）若数列{an}是等差数列,且对任意正整数n都有S(n^3)=（Sn
若数列{an}是等差数列,且对任意正整数n都有Sn3=（Sn)^3成立,求数列{an}的通项公式.
已知无穷数列{an}的各项均为正整数,Sn数列的前n项和.（1）若数列{an}是等差数列,且对任意正整数n都有S(n^3)=（Sn)^3成立,求数列{an}的通项公式.
(2)对任意正整数n,从集合{a1,a2,...,an}中不重复地任取若干个数,这些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数,且这些正整数与a1,a2,...,an一起构成恰好是1至Sn全体正整数组成的集合（i)求a1,a2 的值.(ii)求数列{an}的通项公式.
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若数列{an}是等差数列,且对任意正整数n都有Sn3=（Sn)^3成立,求数列{an}的通项公式.已知无穷数列{an}的各项均为正整数,Sn数列的前n项和.（1）若数列{an}是等差数列,且对任意正整数n都有S(n^3)=（Sn
(1)S(n³)=(Sn)³,所以：
S1=(S1)³,说明a1=(a1)³,{an}是正整数数列,所以a1=1.由于：
S(n³)=n³a1+½n³(n³+1)d
(Sn)³=[na1+½n(n+1)d]³
将a1=1代入两式,要两式恒等,只能d=0
所以an=1,是一个常数列.
(2)
(i)先求a1,a2
当n=2时,我们取a1,a2,根据题意,
a1,a2,a1+a2,|a1-a2| 这4个数应该涵盖1到S2之间所有的正整数,
所以S2=4,易知a1=1,a2=3.
(ii)现在来探讨{an}的通项公式.
对于一般的n,a1到an之间的数字组合加减运算,一共能出现多少种结果呢?
这些数加减运算时,对于每一个a(i),我们都有三种处理方法：加上它（等于a(i)）,减去它（等于 -1*a(i)）,不用它（等于0*a(i)）.所以a1到an组合方式一共是3ⁿ 种.不过所有的都不选,应该抛除,所以组合是3ⁿ -1种.其中结果有正有负,要取绝对值的,所以：3ⁿ -1种组合,能带来(3ⁿ -1)/2种不同结果.这些结果题目要求恰好涵盖1到Sn之间所有正整数,所以这就要求Sn=(3ⁿ -1)/2.
这里解释一下：比如a1=1和a2=3,可以组合出多少数呢?
a1+a2=4,a1+(-1)a2= -2,a1+0a2=1
(-1)a1+a2=2,(-1)a1+(-1)a2= -4,(-1)a1+0a2= -1
0a1+a2=3,0a1+(-1)a2= -3,0a1+0a2=0
一共9种组合（3²种）
需要减去0a1+0a2,因为a1,a2都没选,无效计算.剩余8种运算（3²-1种）.
这结果中,有负有正,取绝对值,就剩下4种结果1,2,3,4了.（(3²-1)/2种）.所以S2=(3²-1)/2=4
既然知道Sn=(3ⁿ -1)/2,由Sn-S(n-1)=an,知道,
an=3ⁿ⁻¹
经验证,1,3,9,27,...,3ⁿ⁻¹确实符合题目要求.