已知O为等边三角形三边中线的交点,求证：BO与CO的垂直平分线必等分BC

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/12/19 10:44:54

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已知O为等边三角形三边中线的交点,求证：BO与CO的垂直平分线必等分BC
已知O为等边三角形三边中线的交点,求证：BO与CO的垂直平分线必等分BC

已知O为等边三角形三边中线的交点,求证：BO与CO的垂直平分线必等分BC
此题通过计算法证明比较简单.
由于不能插入图片,你可以按照我的步骤画出图形：
(1)等边三角形设为ABC,三边中线分别为：AD,BF,CE,三条中线交于点O.
(2)分别设BO和CO的中点为M,N
（3）过M点做OB的中垂线交AO延长线于点P,连接PN
因为三角形PMO全等于三角形PNO,则角PNO=角PMO=90度
所以PN是边OC的中垂线.
接下来需证明PM和PN三等分BC
为方便证明,不妨设PM交BC于G,PN交BC于H.
设AB=BC=AC=2a,要证明命题成立只需证BG=GH=HC=(2/3)*a 即可
有等边三角形性质得到,BF=2a*sin（60度）=（根号3）*a
OB=BD/cos(30度)=2a/(根号3)
BM=(1/2)*OB=a/(根号3)
BG=BM/cos(30度)=2a/3
由三角形BMG全等于三角形CNH
所以CH=BG=2a/3
GH=BC-BG-HC=2a/3
BG=GH=CH 即原命题得证

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