过双曲线x^2-y^2=1的右焦点的弦AB过右焦点F,是否存在以AB为直径的圆过原点O,若存在,求出直线AB的斜率k
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/22 07:15:40
过双曲线x^2-y^2=1的右焦点的弦AB过右焦点F,是否存在以AB为直径的圆过原点O,若存在,求出直线AB的斜率k
过双曲线x^2-y^2=1的右焦点的弦AB过右焦点F,是否存在以AB为直径的圆过原点O,若存在,求出直线AB的斜率k
过双曲线x^2-y^2=1的右焦点的弦AB过右焦点F,是否存在以AB为直径的圆过原点O,若存在,求出直线AB的斜率k
假设存在这样的圆.
由双曲线方程x^2－y^2＝1,得：c＝√（1＋1）＝√2,∴F的坐标是（√2,0）.
一、当AB不存在斜率时,AB的方程显然是x＝√2.
令x^2－y^2＝1中的x＝√2,得：y＝－1,或y＝1,
∴A、B两点的坐标是（√2,－1）、（√2,1）.
∴向量OA＝（√2,－1）、向量OB＝（√2,1）,∴向量OA·向量OB＝2－1＞0,
∴此时OA、OB不垂直,∴此时点O不在以AB为直径的圆上.
二、当AB存在斜率时,设斜率为k,则：AB的方程是y＝k（x－√2）.
联立：y＝k（x－√2）、x^2－y^2＝1,消去y,得：x^2－k^2（x－√2）^2＝1,
∴（1－k^2）x^2＋2√2k^2x－2k^2－1＝0.
∵A、B都在直线y＝k（x－√2）上,
∴可设A、B的坐标分别为（m,k（m－√2））、（n,k（n－√2））.
显然m、n是方程（1－k^2）x^2＋2√2k^2x－2k^2－1＝0的两根,
∴由韦达定理,有：m＋n＝2√2k^2/（k^2－1）、mn＝（2k^2＋1）/（k^2－1）.
很明显,此时,向量OA＝（m,k（m－√2））、向量OB＝（n,k（n－√2））,
∵O在以AB为直径的圆上,∴OA⊥OB,∴向量OA·向量OB＝0,
∴mn＋k^2（m－√2）（n－√2）＝0,
∴mn＋k^2mn－√2k^2（m＋n）＋2k^2＝0,
∴（1＋k^2）［（2k^2＋1）/（k^2－1）］－√2k^2［2√2k^2/（k^2－1）］＋2k^2＝0,
∴（1＋k^2）（2k^2＋1）－4k^4＋2k^2（k^2－1）＝0,
∴2k^2＋1＋2k^4＋k^2－4k^4＋2k^4－2k^2＝0,
∴1＋k^2＝0,这自然是不可能的,∴点O不可能在以AB为直径的圆上.
综上所述,得：不存在满足条件的圆.