一道关于双曲线的数学题过双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a＞0,b＞0）的右焦点F作双曲线在第二、四象限的渐近线的垂线l,垂足为P,l与双曲线的左、右支的交点分别为A,B.5 [ 标签：双曲线,焦点双曲线,渐

一道关于双曲线的数学题过双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a＞0,b＞0）的右焦点F作双曲线在第二、四象限的渐近线的垂线l,垂足为P,l与双曲线的左、右支的交点分别为A,B.5 [ 标签：双曲线,焦点双曲线,渐
一道关于双曲线的数学题
过双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a＞0,b＞0）的右焦点F作双曲线在第二、四象限的渐近线的垂线l,垂足为P,l与双曲线的左、右支的交点分别为A,B.
5 [ 标签：双曲线,焦点双曲线,渐近线 ]
（1）求证：P在双曲线的右准线上；
（2）求双曲线离心率的取值范围.

一道关于双曲线的数学题过双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a＞0,b＞0）的右焦点F作双曲线在第二、四象限的渐近线的垂线l,垂足为P,l与双曲线的左、右支的交点分别为A,B.5 [ 标签：双曲线,焦点双曲线,渐
(1)设a^2+b^2=c^2,c>0,有F（c,0）
该渐近线方程为y=-(b/a)x,则过F的垂线为y=(a/b)(x-c)
联立方程组可解得 x=a^2/c,即在右准线x=a^2/c 上.
(2)因为直线l与双曲线左右支均有交点,则该双曲线与其在第一、三象限的渐近线l1必交于第三象限.
所以l1的斜率必大于l的斜率,即 b/a > a/b,即b^2 > a^2,又b^2=c^2-a^2,
所以c^2>2*(a^2) 则离心率e=c/a>sqrt2

1.
双曲线x^2/a^2 -y^2/b^2=1 (a>0,b>0)
右焦点F(c,0),其中c=√(a^2+b^2)
第二、四象限的渐近线L为
y=-b/ax
过焦点F作L的垂线l
设直线l方程y=kx+k'
x=c时,y=0
k*(-b/a)=-1
k=a/b
k'=-ck=-c*a/b
直线l方程为

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1.
双曲线x^2/a^2 -y^2/b^2=1 (a>0,b>0)
右焦点F(c,0),其中c=√(a^2+b^2)
第二、四象限的渐近线L为
y=-b/ax
过焦点F作L的垂线l
设直线l方程y=kx+k'
x=c时,y=0
k*(-b/a)=-1
k=a/b
k'=-ck=-c*a/b
直线l方程为
y=(a/b)x -c*a/b=(a/b)*[x-√(a^2+b^2)]
直线L和直线l交点P(x',y'),有
-b/ax'=a/b*[x'-√(a^2+b^2)]
(b/a)^2 x'= x'-√(a^2+b^2)
x'=[√(a^2+b^2)]/[1+(b/a)^2]
=a^2* [√(a^2+b^2)/(a^2+b^2)]
=a^2/[√(a^2+b^2)]
=a^2/c
双曲线右准线为x=a^2/c
所以P在双曲线右准线上
2。
双曲线离心率e=c/a=[√(a^2+b^2)]/a
e=√[1+(b/a)^2]
l与双曲线的左、右支的交点分别为A,B，令xA=x1,xB=x2
y=(a/b)*(x-c)
x^2/a^2-y^2/b^2=1
x^2/a^2-(x-c)^2*(a^2/b^4)=1
b^4x^2-a^4(x-c)^2=(a^2) *(b^4)
(b^4-a^4)x^2+2ca^4 x -(c^2)*(a^4)-(a^2)*(b^4)=0
根与系数关系,有
x1.x2<0
[-(c^2)*(a^4)-(a^2)*(b^4)]/[b^4-a^4]<0
[(c^2)*(a^4)+(a^2)*(b^4)]/[b^4-a^4]>0
(c^2)>0,(a^4)>0,(a^2)>0(b^4)>0
b^4-a^4>0
b>a
b/a>1
e=√[1+(b/a)^2]>=√2

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1
先求渐近线 得出与之垂直的斜率 且其过焦点 L的方程就可以表示了
再把L 和双曲线联立 取X=正的解 即为X=a^2/c， 即在右准线上
2
根据e=√[1+(b/a)^2] ，把渐近线与离心率联系在一起
将y=(a/b)*(x-c)
x^2/a^2-y^2/b^2=1二者联立
得到(b^4-a^4)x^2+2ca^4 x -(c^2)*...

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1
先求渐近线 得出与之垂直的斜率 且其过焦点 L的方程就可以表示了
再把L 和双曲线联立 取X=正的解 即为X=a^2/c， 即在右准线上
2
根据e=√[1+(b/a)^2] ，把渐近线与离心率联系在一起
将y=(a/b)*(x-c)
x^2/a^2-y^2/b^2=1二者联立
得到(b^4-a^4)x^2+2ca^4 x -(c^2)*(a^4)-(a^2)*(b^4)=0
左右两只异交点所以x1.x2<0
[-(c^2)*(a^4)-(a^2)*(b^4)]/[b^4-a^4]<0
化简得b^4-a^4>0
即b>a
且b/a>1
所以有e=√[1+(b/a)^2]>=√2
范围是【 √2，+无穷}
望采纳

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