过抛物线y2;=4x的焦点作倾斜角为3π/4的直线交抛物线于P,Q两点,O为坐标原点,则△POQ的面积等于多少?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 11:38:58
过抛物线y2;=4x的焦点作倾斜角为3π/4的直线交抛物线于P,Q两点,O为坐标原点,则△POQ的面积等于多少?
过抛物线y2;=4x的焦点
作倾斜角为3π/4的直线交抛物线于P,Q两点,O为坐标原点,则△POQ的面积等于多少?
过抛物线y2;=4x的焦点作倾斜角为3π/4的直线交抛物线于P,Q两点,O为坐标原点,则△POQ的面积等于多少?
y^2=2*2x,p=2,焦点F（1,0）,
直线方程为：y=-(x-1),
x+y-1=0,
设P（x1,y1),Q(x2,y2),
代入抛物线方程,
x^2-2x+1=4x,
x^2-6x+1=0,
根据韦达定理,
x1+x2=6,
x1x2=1,
根据弦长公式,|PQ|=√（1+1）（x1-x2)^2=√2*[x1+x2)^2-4x1x2]=√2*[6^2-4*1]=8,
O至PQ距离d=|0+0-1|/√（1+1）=√2/2,
∴△OPQ=|PQ|*d/2=（1/2）8*√2/2=2√2
抛物线y²=4x的焦点是（2,0）
则过焦点且倾斜角为3π/4的直线方程可以求出为：y=-x+2
则抛物线与直线的交点可以求出，即联解方程y²=4x和y=-x+2
则有x=4±2倍根号3，对应的y=-2±2倍根号3
设P点为（4+2倍根号3,-2-2倍根号3），Q为（4-2倍根号3,-2+2倍根号3），
则S△OPQ=S△OQF+S△OF...
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抛物线y²=4x的焦点是（2,0）
则过焦点且倾斜角为3π/4的直线方程可以求出为：y=-x+2
则抛物线与直线的交点可以求出，即联解方程y²=4x和y=-x+2
则有x=4±2倍根号3，对应的y=-2±2倍根号3
设P点为（4+2倍根号3,-2-2倍根号3），Q为（4-2倍根号3,-2+2倍根号3），
则S△OPQ=S△OQF+S△OFP=1/2OF*（-2+2倍根号3）+1/2OF*（2+2倍根号3）
=1/2OF*（-2+2倍根号3+2+2倍根号3）=1/2x2x4倍根号3=4倍根号3
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