设x+y+z=2√5,则m=x^2+2y^2+z^2的最小值为

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/23 14:21:29
设x+y+z=2√5,则m=x^2+2y^2+z^2的最小值为设x+y+z=2√5,则m=x^2+2y^2+z^2的最小值为设x+y+z=2√5,则m=x^2+2y^2+z^2的最小值为由x+y+z=

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设x+y+z=2√5,则m=x^2+2y^2+z^2的最小值为
由x+y+z=2√5得z=2√5–x-y,
则x2+2y2+z2=x2+2y2+(2√5–x-y)2=2x2+3y2+2xy-4√5(x+y)+20
=2(x+1/2y)2+5/2y2-4√5(x+y)+20,
令x2+2y2+z2=2(x+1/2y+m)2+5/2(y+n)2+k(待定系数法)
=2(x+1/2y)2+5/2y2+4mx+(2m+5n)y+5n2/2+2m2+12+k
∴4m=-4√5,2m+5n=-4√5,k=8
∴m=-√5,n=-2√5/5,
即x2+2y2+z2=2(x+1/2y-√5)2+5/2(y+-2√5/5)2+8≥8
∴x2+2y2+z2的最小值为8.