如图,Rt三角形ABC中,角ABC=90°,以AB为直径作圆O交斜边AC于D,E为CD上如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径作○O交斜边AC于D,E为CD上一点,BE交○O于点F,延长AF交BC于点G.已知CE=DE=2,AD=5,（1）求AB,BC长.（2）
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/23 16:54:32
如图,Rt三角形ABC中,角ABC=90°,以AB为直径作圆O交斜边AC于D,E为CD上如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径作○O交斜边AC于D,E为CD上一点,BE交○O于点F,延长AF交BC于点G.已知CE=DE=2,AD=5,（1）求AB,BC长.（2）
如图,Rt三角形ABC中,角ABC=90°,以AB为直径作圆O交斜边AC于D,E为CD上
如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径作○O交斜边AC于D,E为CD上一点,BE交○O于点F,延长AF交BC于点G.已知CE=DE=2,AD=5,（1）求AB,BC长.
（2）求证：△ADF∽△AGC
(2求BG/CG的值
如图,Rt三角形ABC中,角ABC=90°,以AB为直径作圆O交斜边AC于D,E为CD上如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径作○O交斜边AC于D,E为CD上一点,BE交○O于点F,延长AF交BC于点G.已知CE=DE=2,AD=5,（1）求AB,BC长.（2）
（1）连接OF,OD
因为ADFB为圆O上的4个点,所以OA=OD=OF=OB,
所以∠OAD=∠ODA,∠ODF=∠OFD,∠OBF=∠OFB
因为在四边形ADFB中∠OAD+∠ADF+∠DFB+∠OBF=360°
所以∠OAD+∠DFA+∠AFB=180°
在△ABF中,OA=OF=OB
所以∠OAF=∠OFA,∠OFB=∠OBF
因为△ABF中内角和为180读,所以∠OFA+∠OFB=90°,即∠AFB=90°
所以∠OAD+∠DFA=90°,又因为在RT△ABC中∠OAD+∠C=90°
所以∠C=∠DFA,又因为∠CAG=∠FAD,所以△AGC∽△ADF
（2）因为△AGC∽△ADF,所以AD：AF=AG：AC,所以AD*AC=AF*AG
又因为∠AFB=∠ABC=90°,∠FAB=∠BAG,所以△ABF∽ △AGB,所以AB²=AF*AG
所以AB²=AD*AC=45,所以在RT△ABC中,BC²=AC²-AB²=81-45=36,所以BC=6
连接BD,因为OA=OD=OB,所以∠OAD=∠ADO,∠ODB=∠OBD,所以∠ADB=90°
所以∠EDB=90°,BD²=AB²-AD²=20
在RT△BDE中,BE²=BD²+DE²=24,所以BF+FE=2√6.
在RT△ABF中,AF²+BF²=AB²=45；在RT△ACF中,AF²+EF²=AE²=49
所以EF²-BF²=4,级（EF-BF）(EF+BF)=4,所以EF-BF=√6/3
所以FB=5√6/6 ,EF=7√6/6
所以AF²=AB²-BF²=245/6,AF=7√30/6
因为∠BAF+∠ABF=90°,∠GBF+∠ABF=90°,所以∠BAF=∠GBF,∠AFB=∠BFG=90°
所以△ABF∽ △BFG,所以AF：FB=AB：BG,所以BG=15/7
所以CG=BC-BG=27/7
所以BG/CG=5/9